Flächenformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten -dimensionaler Flächen im $\mathbb {R} ^{n}$ ( $m\leq n$ ). Hierbei wird vorausgesetzt, dass die -dimensionale Fläche $A \subset \R^n$ parametrisiert ist, d. h., es gibt eine auf einem Gebiet $G\subset \mathbb{R} ^{m}$ definierte injektive differenzierbare Abbildung $f\colon G\to \mathbb{R} ^{n}$ und eine messbare Teilmenge $B\subset G$ , so dass das Bild von unter der Abbildung > ist: A=f(B) .

Dann gilt:

$H^{m}(A)=\int _{B}{\sqrt {\det(Df^{T}\,Df)}}\,dL^{m},$

Dabei ist $H^{m}(A)$ das -dimensionale Hausdorff-Maß (der -dimensionale Flächeninhalt) von und $L^{m}$ das -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $\mathbb {R} ^{m}$ . Der Integrand wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von genannt; ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von und $Df^{T}$ deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung der Flächenformel lautet

$\int _{A}g\,dH^{m}=\int _{B}(g\circ f){\sqrt {\det(Df^{T}\,Df)}}\,dL^{m}$

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche definierten Funktion nach dem Hausdorff-Maß $H^{m}$ .

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind $L^{m}$ -Messbarkeit von und $H^{m}$ -Messbarkeit von zu nennen, was allerdings keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da alle in der Praxis vorkommenden Mengen bzw. Funktionen diese Eigenschaft besitzen.

Beide Formeln gelten in dieser Form nur, wenn die Abbildung (bis auf eine Nullmenge) injektiv ist, denn auf der linken Seite wird jeder Bildpunkt nur einmal gerechnet, auf der rechten aber jeder Urbildpunkt.

Die Voraussetzung, dass die Funktion differenzierbar ist kann abgeschwächt werden. Es genügt, wenn sie lipschitz-stetig ist; dann ist sie automatisch fast überall differenzierbar.

Im Spezialfall m=n ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.

Basierend auf einem Artikel in:

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