Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.^[1]

Definition

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

$(x,n) \equiv \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}$

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

$(x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)$ .

Man hat also eine Identität

$(x,n)=x^{\overline {n}}$

mit der steigenden Faktoriellen.

Eigenschaften

Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole

Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion.
Ist $n\in \mathbb {N}$ , so kann als Polynom in dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei .
Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen:

$(x,-n) = (-1)^n \frac{1}{(1-x,n)}$

Divisionsregel:
- ${\frac {(x,n)}{(x,m)}}=(x+m,n-m);\quad n>m$
- ${\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\frac {1}{(x+m,m-n)}};\quad m>n$
Spezielle Werte:
- $(1,n)=n!$
- $({\tfrac {1}{2}},n)=2^{-n}(2n-1)!!$

q-Pochhammer-Symbol

Das -Pochhammer-Symbol ist das -Analog des Pochhammer-Symbols und spielt eine Rolle in der Kombinatorik bei -Analoga klassischer Formeln, wobei, angeregt durch den Grenzübergang

$\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n$ ,

das -Analogon natürlicher Zahlen über

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}$

definiert wird.

Das -Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen definiert:

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})$

mit

$(a;q)_{0}=1$ .

Sie werden auch -Reihen genannt und $(a;q)_{n}$ als $(a)_{n}$ abgekürzt, z.B. $(q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})$ .

Es lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})$

Der Spezialfall

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

ist das Eulersche Produkt, das eine Rolle in der Theorie der Partitionsfunktion spielt.

Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen als Koeffizienten:

$(x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}$

Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:

$(x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}$

Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:

$F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)$

$K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)$

Diese Tatsache basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.

Das Eulersche Produkt kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion ausgedrückt werden:

$(x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2x^{-1/24}\vartheta _{10}(x^{1/6})\vartheta _{01}(x^{1/6})\vartheta _{00}(x^{1/6})^{2/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})[9\vartheta _{00}(x^{1/2})^{4}-\vartheta _{00}(x^{1/6})^{4}]^{-2/3}$

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung zu den Thetafunktionen:

$(x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{01}(x)^{1/3}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}$

Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π.

Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:

$R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=$

$=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=$

$=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=$

$=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}$

In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen

$\bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

$\Box \,(n)=n^{2}$

verwendet und die Thetafunktionen:

$\vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}$

$\vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}$

$\vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}$

Anmerkung

↑ L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung für den Binomialkoeffizienten, für die fallende Faktorielle und für die steigende Faktorielle.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de