Maclaurinsche Reihe

Die Maclaurinsche Reihe (nach Colin Maclaurin) ist in der Analysis eine Bezeichnung für den Spezialfall einer Taylor-Reihe mit Entwicklungsstelle $x_{0}=0$ :

$f(x)=\sum _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac {f^{{(j)}}(0)}{j!}}x^{j}=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {1}{2}}f''(0)\cdot x^{2}+\dots$

Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die Maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor-Formel:

$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {f^{{(n)}}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n}$

mit dem Restglied

$R_{n}={\frac {x^{{n+1}}}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(\theta x)\,\,\,\,\,\,\,0<\theta <1$

oder alternativ

$R_{n}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{{0}}^{x}(x-t)^{n}f^{{(n+1)}}(t){\mathrm {d}}t.$

Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes $R_{n}$ oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden. Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen, dass die Reihe zwar konvergiert, ihre Summe aber ungleich f(x) ist. Ein Beispiel für solch einen Fall ist die Funktion $f(x)=\exp(-1/x^{2})$ mit der Bedingung f(0)=0 : die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0, allerdings ist $f(x)\not =0$ für $x\not =0.$

Für Funktionen, die bei x=0 nicht definiert sind - z.B. $f(x)={\frac {1}{x}}$ , oder die bei x=0 zwar definiert, aber nicht beliebig oft differenzierbar sind - z.B. $f(x)=x{\sqrt {x}}$ , lässt sich ebenfalls keine Maclaurinsche Reihe entwickeln.

Beispiele

Sinus

$\sin(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-\ldots$

Exponentialfunktion

$e^{x}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dots =1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{24}}x^{4}+\dots$

Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin-Reihen

Jede Taylorreihe, auch solche mit Entwicklungsstelle $x_{0}\neq 0$ , kann als Maclaurinreihe aufgefasst werden. Dazu wird statt der Taylorreihe zu f(x) die Taylorreihe zu $f(x_{0}+x)$ betrachtet (Substitution):

$f(x_{0}+x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {f^{{(n)}}(x_{0})}{n!}}[(x_{0}+x)-x_{0}]^{n}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {f^{{(n)}}(x_{0})}{n!}}x^{n}.$

Durch die Verschiebung um $-x_{0}$ "zur Seite" ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0, wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin-Reihe handelt.

Beispiel: Die Taylorreihe zur natürlichen Logarithmusfunktion $\ln(x)$ um die Entwicklungsstelle 1, nämlich

$\ln(x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n}}(x-1)^{n},$

entspricht der Maclaurin-Reihe zu $\ln(x+1).$

$\ln(x+1)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n-1}}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de