Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit $\mathrm {B}$ bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

$\mathrm{B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{{x-1}}(1-t)^{{y-1}}\,{\mathrm {d}}t,$

wobei und einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

Bei festem (bzw. ) ist $\mathrm {B}$ eine meromorphe Funktion von (bzw. ), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

$\mathrm{B} (x,y)=\mathrm{B} (y,x)$ .

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit $\mathrm {Re} \,x>0$ und $\mathrm {Re} \,y>0$ (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution $u={\tfrac {t}{1-t}}$ )

${\begin{aligned}\mathrm{B} (x,y)&{}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{{x-1}}}{{(1+t)}^{{x+y}}}}\,{\mathrm {d}}t\\&{}=2\int \limits _{0}^{{{\frac {\pi }{2}}}}\sin ^{{2y-1}}(t)\cos ^{{2x-1}}(t){\mathrm {d}}t.\end{aligned}}$

An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang x=k und y=k für ganze Zahlen $k\leq 0$ hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl $\mathrm{B} (x,y)$ für alle rationalen, nicht ganzzahligen x,y transzendent ist.

Beziehung zur Gammafunktion

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

$\mathrm{B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

wobei $\Gamma$ die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.

Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:

${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}$

nun kann man die Variablen $u=zt$ und $v=z(1-t)$ substituieren und erhält damit

${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}$

Teilt man nun beide Seiten durch $\Gamma (x+y)$ , erhält man das Resultat.

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

$\mathrm{B} (x,y)=2\int _{0}^{{\pi /2}}(\sin \theta )^{{2x-1}}(\cos \theta )^{{2y-1}}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0$

$\mathrm{B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{{x-1}}}{(1+t)^{{x+y}}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0$

$\mathrm{B} (x,y)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\dfrac {{n-y \choose n}}{x+n}},$

$\mathrm{B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{{n=1}}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{{-1}},$

$\mathrm{B} (x,y)\cdot \mathrm{B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},$

$\mathrm{B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{{n+1}}}{n!(x+n)}}$

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

${n \choose k}={\frac 1{(n+1)\mathrm{B} (n-k+1,k+1)}}.$

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive und auf:

$\mathrm{B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}$ .

Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch

${\partial \over \partial x}\mathrm{B} (x,y)=\mathrm{B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm{B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

wobei $\psi (x)$ die Digamma-Funktion ist.

Werte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:

$\mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)$

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.

$\mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]$

$\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)$

$\mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]$

$\mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)$

$\mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de