Dirac-Kamm

Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.

Definition

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische Schwartz-temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distribution Gebrauch macht.

$\Delta _{T}(t)=\sum _{{n\in {\mathbb Z}}}\delta (t-nT)$

für eine Periode T. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt also

$\forall \phi \in C_{c}^{\infty }({\mathbb R})={\mathcal D}({\mathbb R})$ ist $\textstyle \Delta _{T}\phi :=\sum _{{n\in {\mathbb Z}}}\phi (nT)$ .

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Die Poissonsche Summenformel besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein Fixpunkt der Fourier-Transformation ist. Allgemeiner gilt

${\mathcal {F}}\{\Delta _{{T}}\}={\frac {1}{T}}\,\Delta _{{{\frac {1}{T}}}},$

wobei für die kontinuierliche Fourier-Transformation die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=\int _{{-\infty }}^{\infty }f(x)\,e^{{-2\pi {\mathrm {i}}tx}}\,{\mathrm {d}}x$

verwendet wird.

Abtastung und Alias-Effekte

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

Abtasten durch Multiplikation mit einem Dirac-Kamm

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de