Satz von Rolle

Ist eine reellwertige Funktion mit

stetig auf

und differenzierbar auf

, so gibt es ein $x_{0}\in (a,b)$ , so dass $f'(x_{0})=0$ gilt.

Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Aussage

Seien a<b und $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, die im offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist. Erfüllt sie f(a)=f(b) , so gibt es eine Stelle $x_{0}\in (a,b)$ mit

$f'(x_{0})=0$ .

nterpretation

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, an der die Steigung gleich null ist. An dieser Stelle liegt die Tangente waagrecht und damit parallel zur x-Achse. Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt. Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, dieser lässt sich umgekehrt leicht aus dem Satz von Rolle beweisen.

Visualisierungen

Funktion, die ein Minimum innerhalb des Definitionsbereichs hat. Dort ist die Ableitung gleich null.
Die Funktion besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Maximum und kein Minimum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
Die Funktion besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Minimum und kein Maximum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
Wenn die Funktion konstant ist, dann ist die Ableitung überall gleich null.

Beweis

Da über dem kompakten Intervall [a, b] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle $m\in [a,b]$ ein Minimum und an einer Stelle $M\in [a,b]$ ein Maximum an. Ist nicht konstant, so muss wegen f(a)=f(b) mindestens $m\in (a,b)$ oder $M\in (a,b)$ gelten. Diese Extremalstelle sei mit $x_{0}$ bezeichnet. Ist konstant, so ist $x_{0}={\frac {a+b}2}$ eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls (a,b) .

Ist die innere Extremalstelle $x_{0}$ eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von an der Stelle $x_{0}$ , dass

$f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0$

$f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0$

Somit ist $f'(x_{0})=0$ .

Ist $x_{0}$ eine Minimalstelle von , so ist $x_{0}$ eine Maximalstelle von und wir erhalten $-f'(x_{0})=0$ und somit $f'(x_{0})=0$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de