Potenzregel

Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen. Sie lautet:

Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^{n}$ ist $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ . Dies gilt für $n\in \{2,3,4,\ldots {}\}$ und $x\in \mathbb {R}$ bzw. für $n\in \{-1,-2,-3,\ldots {}\}$ und $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ .

Beispielsweise hat die Funktion f(x) = x^4 die Ableitung $f'(x)=4\cdot x^{3}$ .

Verallgemeinerung

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen $f(x)=x^{s}$ , x>0 , deren Exponent (Hochzahl) $s\in \mathbb {R}$ keine ganze Zahl ist:

$f'(x)=s\cdot x^{s-1}$

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

$(x^{n})'=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$ .

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

$\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {{n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{{n-1}}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{{n-2}}{\Delta x}^{2}+\dots +{n \choose n-1}x{\Delta x}^{{n-1}}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

$(x^{n})'=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {{n \choose 1}x^{{n-1}}{\Delta x}+{n \choose 2}x^{{n-2}}{\Delta x}^{2}+\dots +{n \choose n-1}x{\Delta x}^{{n-1}}+{n \choose n}{\Delta x}^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{{\Delta x\to 0}}\left[{n \choose 1}x^{{n-1}}+{n \choose 2}x^{{n-2}}{\Delta x}+\dots +{n \choose n-1}x{\Delta x}^{{n-2}}+{n \choose n}{\Delta x}^{{n-1}}\right]$

$={n \choose 1}x^{{n-1}}=n\cdot x^{{n-1}}$ .

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: $x^{s}=(e^{{\ln x}})^{s}=e^{{s\cdot \ln x}}$ und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion ab:

$(x^{s})'=(e^{{s\cdot \ln x}})'=e^{{s\cdot \ln x}}\cdot (s\cdot \ln x)'$

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

$(s\cdot \ln x)'=s\cdot {\frac 1x}$

Indem man dies einsetzt und für $(e^{{s\cdot \ln x}})$ wieder $x^{s}$ schreibt, erhält man

$(x^{s})'=x^{s}\cdot s\cdot {\frac 1x}=s\cdot x^{{s-1}}$

Diese Herleitung gilt nur für $x\neq 0$ . Für s>1 ist die Funktion $f(x)=x^{s}$ aber auch an der Stelle x=0 differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle x=0 . Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:

$f'(0)=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {(\Delta x)^{s}-0^{s}}{\Delta x-0}}=\lim _{{\Delta x\to 0}}(\Delta x)^{{s-1}}=0=s\cdot 0^{{s-1}}$

Mehrfache Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten

(Zur Schreibweise des Folgenden siehe Leibniz-Notation.) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist deren -fache Ableitung...

...für $1\leq k\leq n:\quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}$ .

Beweis

Die Behauptung lässt sich für $k \leq n$ mit vollständiger Induktion beweisen.

Induktionsanfang für $k=1:\quad {\frac {d}{dx}}x^{n}=n\cdot x^{n-1}={\frac {n!}{(n-1)!}}x^{n-1}$ (wahr)

Induktionsvoraussetzung: $\quad \quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}$

Induktionsbehauptung: $\quad \quad \quad {\frac {d^{k+1}}{dx^{k+1}}}x^{n}={\frac {n!}{(n-k-1)!}}\cdot x^{n-k-1}$

Induktionsschritt:

$\quad {\frac {d^{k+1}}{dx^{k+1}}}x^{n}=$

Die (k+1) -te Ableitung ist die Ableitung der -ten Ableitung:

$\quad {\frac {d}{dx}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}=$

mit der Induktionsvoraussetzung:

$\quad {\frac {d}{dx}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot x^{n-k}=$

$\quad {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot (n-k)\cdot x^{n-k-1}=$

$\quad {\frac {n!}{(n-k-1)!}}\cdot x^{n-k-1}$ , q.e.d.

Für manche Anwendungen ist praktisch, eine Funktion als $0$ -te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für k=0

ebenfalls.

Für

ist insbesondere ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}=n!$

...für $k>n:\quad {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}=0$

Dies folgt direkt aus ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}=n!$ , denn die Ableitung einer beliebigen konstanten Funktion ist die Nullfunktion; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de