Spektralradius

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen

Definition

Der Spektralradius $\rho$ einer $(n \times n)$ -Matrix $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$ ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von , das heißt, $\rho$ ist definiert durch

$\rho (A):=\max \limits _{{1\leq i\leq n}}|\lambda _{i}(A)|$ .

Dabei durchläuft $\lambda _{i}$ die höchstens verschiedenen Eigenwerte von . Der Spektralradius wird auch mit $\operatorname {spr}(A)$ statt mit $\rho (A)$ notiert.

Eigenschaften

Jede induzierte Matrixnorm von ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich $\lambda$ ein Eigenwert zu einem Eigenvektor von , dann gilt:

$\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\geq {\frac {\|Av\|}{\|v\|}}={\frac {\|\lambda v\|}{\|v\|}}=|\lambda |{\frac {\|v\|}{\|v\|}}=|\lambda |$

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem $\epsilon >0$ mindestens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen unterschiedlich sein kann), sodass

$\rho (A)\leq \|A\|<\rho (A)+\epsilon$

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm:

$\rho (A)=\inf _{{n\in {\mathbb {N}}}}{\sqrt[ {n}]{\|A^{n}\|}}=\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{\|A^{n}\|}}$

Anwendungen

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls $\rho \left(I-B^{{-1}}A\right)<1$ für eine invertierbare Matrix $B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ gilt, dann konvergiert die Iteration

$x_{{k+1}}=B^{{-1}}\left(B-A\right)x_{k}+B^{{-1}}b$

für jeden Startvektor $x_{0}$ gegen die exakte Lösung $x^{\ast }$ des linearen Gleichungssystems Ax=b .

Spektralradius in der Funktionalanalysis

Definition

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator definiert man

$\rho (A):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}$ ,

wobei $\sigma (A)$ das Spektrum von ist.

Eigenschaften

Da das Spektrum abgeschlossen ist, wird das Supremum angenommen, es liegt also ein Maximum vor.

Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

$\rho (A)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|A^{n}\|}}=\inf _{n\in \mathbb {N} }{\sqrt[{n}]{\|A^{n}\|}}$

gilt, wobei $\|\cdot \|$ hier die Operatornorm meint.

Insbesondere ist der Spektralradius eines Operators auch, wie im Endlichdimensionalen, nie größer als die Norm des Operators, d. h.:

$\rho (A)\leq \|A\|$

Ist ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de