Assoziative Algebra
Assoziative Algebra ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra einem Teilgebiet der -->Mathematik. Es handelt sich um eine algebraische Struktur, die den Begriff des Vektorraums bzw. des Moduls dahingehend erweitert, dass zusätzlich zur Vektoraddition eine assoziative Multiplikation als innere Verknüpfung definiert wird.
Definition
Ein Vektorraum A über einem Körper K oder ein Modul A über einem Ring R zusammen mit einer bilinearen Abbildung
heißt assoziative Algebra, wenn für alle 
das folgende Assoziativgesetz gilt:
Es handelt sich also um eine spezielle Algebra über einem Körper oder eine spezielle Algebra über einem kommutativen Ring.
Beispiele
- Die Menge aller Polynome
mit Koeffizienten aus einem Körper
bilden (mit der üblichen Multiplikation) eine assoziative Algebra über diesem
Körper.
- Die Endomorphismen
eines Vektorraums
bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra. Hierbei ist die
Verknüpfung 
nicht kommutativ, sofern die Dimension von
größer als 1 ist.
- Ist
ein unendlichdimensionaler Vektorraum und betrachtet man nur die
Endomorphismen mit endlich-dimensionalem Bild, erhält man ein Beispiel, bei
dem
kein Einselement hat.
- Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
- Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.
- Die Matrizenraum
aller
-Matrizen
bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation
eine assoziative Algebra.
- Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.
- Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.05. 2019