Ähnlichkeitsabbildung
Als Ähnlichkeitsabbildung (oder Ähnlichkeit) wird in der Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Affinität bezeichnet, die Streckenverhältnisse und Winkelgrößen unverändert lässt, aber im Allgemeinen die Längen von Strecken ändert. Der Begriff ist daher nur in solchen affinen Räumen sinnvoll, in denen ein Winkelbegriff und ein Längenbegriff vorhanden ist. Meist handelt es sich dabei um affine Punkträume, denen ein reeller euklidischer Raum als Raum der Verbindungsvektoren zugeordnet ist (siehe Der euklidische Punktraum). Figuren, die durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abgebildet werden können, heißen ähnlich zueinander.
In der Geodäsie und Astrometrie wird die Abbildung als Ähnlichkeitstransformation bezeichnet. Ihre 4 Transformationsparameter sind 1 Drehwinkel, 1 Maßstabsfaktor und 2 Verschiebungswerte. Man verwendet sie bei einfachen Koordinatentransformationen, etwa bei einer kleinräumigen Vermessung zum Anschluss an die Landeskoordinaten, oder bei Astrografen-Aufnahmen zur Plattenreduktion auf 2 oder mehr Anschlusssterne.
Ähnlichkeiten als spezielle Affinitäten
Die Menge der Ähnlichkeiten auf einem affinen
Raum 
bildet eine Teilmenge der Affinitäten
auf .
Ist die Dimension
von
größer oder gleich 2, dann existieren auch Affinitäten, die keine Ähnlichkeiten
sind. Bezüglich der Verkettung bilden die Ähnlichkeiten sogar eine Untergruppe
dieser Gruppe
von Affinitäten.
Auch alle Kongruenzabbildungen zählen zu den Ähnlichkeiten (sie bilden eine - im Allgemeinen echte - Untergruppe), da sie unter anderem winkel- und verhältnistreu sind, also Winkel und Streckenverhältnisse invariant lassen. Sind nur Ähnlichkeiten gemeint, die keine Kongruenzabbildungen sind, so spricht man von echten Ähnlichkeiten.
Klassifikation
Es gibt zwei Typen von echten Ähnlichkeiten, also Ähnlichkeiten, die keine Kongruenzabbildungen sind:
- Drehstreckungen sind orientierungstreu (d.h. sie belassen den Umlaufsinn von Vielecken unveränderlich). Sie bestehen aus einer zentrischen Streckung und einer Drehung, und sie werden durch den Streckungsfaktor und den Drehwinkel charakterisiert. Ist der Streckungsfaktor gleich 1, so entsteht eine reine Drehung.
- Klappstreckungen kehren die Orientierung um und bestehen aus einer Spiegelung an einer Hyperebene (einer Geradenspiegelung, falls der affine Raum zweidimensional, einer Ebenenspiegelung, falls er dreidimensional ist) und einer zentrischen Streckung. Ist der Streckungsfaktor gleich 1, so handelt es sich um eine reine Geradenspiegelung.
Koordinatendarstellung
In der analytischen Geometrie wird eine Ähnlichkeitsabbildung nach Wahl eines euklidischen affinen Koordinatensystems durch eine Abbildungsgleichung der Form
beschrieben, wobei 
eine reelle Zahl und
eine orthogonale
Matrix ist. Handelt es sich um eine gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung, so
hat die Determinante
von
den Wert 1, andernfalls den Wert -1.
Siehe auch
Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.12. 2020