Affine Koordinaten

Affine Koordinaten sind Koordinaten, die im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra einem Punkt eines -dimensionalen affinen Raumes bezüglich einer sogenannten affinen Punktbasis zugeordnet werden, das ist eine geordnete Menge von n+1 Punkten des Raumes mit bestimmten Eigenschaften (siehe weiter unten in diesem Artikel).

Man unterscheidet dann inhomogene affine Koordinaten, die gebräuchlichste Form, bei denen die Koordinaten eines Punktes eine geordnete Menge (Tupel) von Zahlen ist, und homogene Formen, bei denen diese Koordinaten ein n+1 -Tupel bilden.

Mit Hilfe der hier beschriebenen affinen Koordinatensysteme lässt sich eine affine Abbildung durch eine Abbildungsmatrix darstellen, dies wird im Artikel Affine Abbildung erläutert.

Affine Koordinaten stehen in engem Zusammenhang zu Teilverhältnissen: Affine Koordinaten lassen sich in Teilverhältnisse umrechnen und umgekehrt.

In der synthetischen Geometrie werden affine Koordinaten für affine Ebenen durch eine geometrische Konstruktion, die Koordinatenkonstruktion, eingeführt. Dabei dienen Punkte einer fest gewählten Gerade der Ebene als affine Koordinaten. Für affine Ebenen über einem Körper führt dieses geometrische Konzept zu den gleichen (inhomogenen) affinen Koordinaten, wie das im vorliegenden Artikel beschriebene Vorgehen aus der analytischen Geometrie. → Siehe zu den affinen Koordinaten in der synthetischen Geometrie den Hauptartikel „Ternärkörper“.

Definitionen

Affines Koordinatensystem im Standardmodell

Ein affiner Unterraum eines -dimensionalen Vektorraums $K^{n}$ über dem Körper - dem Standardmodell des -dimensionalen affinen Raumes - hat die Gestalt A=v+U , wobei $v\in K^{n}$ ein Vektor und $U\subset K^{n}$ ein Untervektorraum ist. Der Unterraum ist dabei eindeutig durch festgelegt (und heißt der zu gehörige Unterraum), der Vektor hingegen nicht, er kann aus beliebig gewählt werden. Die Dimension von wird als die Dimension von definiert.

Ist ein -dimensionaler affiner Raum, so heißen n+1 Punkte $p_{0},\dotsc ,p_{n}$ eine affine Basis, falls die Vektoren $p_{1}-p_{0},\dotsc ,p_{n}-p_{0}$ eine Basis des Untervektorraums bilden.

In diesem Fall gibt es zu jedem $p\in A$ eindeutig bestimmte $\lambda _{0},\dotsc ,\lambda _{n}\in K$ mit $p=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}$ und $\lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1$ .

Inhomogene, baryzentrische und homogene affine Koordinaten

In einem affinen Unterraum gibt es keinen ausgezeichneten Nullpunkt. Eine affine Basis $p_{0},\dotsc ,p_{n}$ trägt diesem Umstand Rechnung. Wählt man einen Basisvektor beliebig aus, etwa $p_{0}$ , so ist $p_{1}-p_{0},\dotsc ,p_{n}-p_{0}$ eine Basis des zugehörigen Unterraums . Ist daher $p\in A$ beliebig, so ist $p-p_{0}\in U$ , das heißt, es gibt $\mu _{1},\dotsc ,\mu _{n}\in K$ mit $p-p_{0}=\mu _{1}(p_{1}-p_{0})+\dotsb +\mu _{n}(p_{n}-p_{0})$ . Daraus folgt

$p=p_{0}+\mu _{1}(p_{1}-p_{0})+\dotsb +\mu _{n}(p_{n}-p_{0})=\left(1-\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}\right)p_{0}+\mu _{1}p_{1}+\dotsb +\mu _{n}p_{n}$

Setzt man $\lambda _{0}=1-\sum _{{i=1}}^{n}\mu _{i}$ , $\lambda _{1}=\mu _{1},\dotsc ,\lambda _{n}=\mu _{n}$ , so gilt $p=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}$ und $\lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1$ . In dieser Darstellung sind die Basispunkte $p_{0},\dotsc ,p_{n}$ wieder gleichberechtigt, keiner der Punkte ist irgendwie ausgezeichnet.

Die Koordinaten $(\mu _{1};\dotsc ;\mu _{n})\in K^{n}$ heißen inhomogene affine Koordinaten, $(\lambda _{0};\dotsc ;\lambda _{n})\in K^{{n+1}}$ heißen baryzentrische affine Koordinaten von bezüglich der Basis $p_{0},\dotsc ,p_{n}$ . Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche Darstellung des Punktes , wenn der Vektor $p_{0}$ nicht der Nullvektor des Vektorraums ist.

Als homogene affine Koordinaten bezeichnet man die n+1 -Tupel $(\mu _{1};\dotsc ;\mu _{n};1)\in K^{{n+1}}$ . (In der Literatur wird auch häufig $(1;\mu _{1};\dotsc ;\mu _{n})\in K^{{n+1}}$ verwendet). Hierbei wird der -dimensionale affine Punktraum mit der Hyperebene mit der Gleichung $x_{{n+1}}=1$ im Vektorraum $K^{{n+1}}$ identifiziert. Man kann diese homogenen Koordinatenvektoren aber auch als Punkte des projektiven Raumes $KP^{n}$ auffassen. Dann beschreiben die Koordinaten $(r\cdot \mu _{1};\dotsc ;r\cdot \mu _{n};r)\in K^{{n+1}}$ für $r\in K\setminus \lbrace 0\rbrace$ denselben affinen Punkt, $(\mu _{1};\dotsc ;\mu _{n};0)\in K^{{n+1}}\setminus \lbrace 0\rbrace$ beschreiben Fernpunkte (Richtungen) des affinen Raumes. Die Darstellung durch homogene Koordinaten kann unter anderem verwendet werden, um beliebige affine Abbildungen mit einer (erweiterten) Abbildungsmatrix ohne Translationsvektor zu beschreiben (→ zu dieser Koordinatendarstellung siehe Hauptartikel Homogene Koordinaten, zur erweiterten Abbildungsmatrix siehe Affine Abbildung: Erweiterte Abbildungsmatrix).

Affines Koordinatensystem im affinen Punktraum

Ein affiner Punktraum ist eine Menge zusammen mit einem Vektorraum $V_{A}$ von sogenannten Translationen und einer Abbildung $A\times A\rightarrow V_{A},(P,Q)\mapsto \overrightarrow {PQ}$ , die jedem Punktepaar einen Verschiebungsvektor so zuordnet, dass gewisse Eigenschaften erfüllt sind (siehe Artikel affiner Raum). Dieser Zugang macht besonders deutlich, dass kein Punkt aus ausgezeichnet ist.

Eine affine Basis (auch affine Punktbasis) von ist dann eine Menge von Punkten $P_{0},\dotsc ,P_{n}\in A$ , so dass die Vektoren $\overrightarrow {P_{0}P_{1}},\dotsc ,\overrightarrow {P_{0}P_{n}}$ eine Basis von $V_{A}$ bilden. Der Punkt $P_{0}$ heißt Ursprung des affinen Koordinatensystems, das durch diese Punktbasis bestimmt ist. Die Dimension von $V_{A}$ wird auch die Dimension von genannt. Die Dimension von ist genau dann , wenn es eine affine Basis aus n+1 Punkten gibt.

Der affine Raum $A=K^{n}$ mit $V_{A}=K^{n}$ und $\overrightarrow {PQ}:=P-Q$ ist ein Beispiel, und es kann gezeigt werden, dass dies bis auf Affinität der allgemeinste affine Raum der Dimension ist, wobei eine Affinität zwischen zwei affinen Räumen $A_{1}$ und $A_{2}$ eine Abbildung $f:A_{1}\rightarrow A_{2}$ ist, zu der es eine bijektive lineare Abbildung $T:V_{{A_{1}}}\rightarrow V_{{A_{2}}}$ mit $\overrightarrow {f(P)f(Q)}=T(\overrightarrow {PQ})$ für alle $P,Q\in A_{1}$ gibt.

Wählt man eine affine Basis $P_{0},\dotsc ,P_{n}\in A$ , so gibt es genau eine Affinität $f:K^{n}\rightarrow A$ mit $f(0)=P_{0},f(e_{1})=P_{1},\dotsc ,f(e_{n})=P_{n}$ , wobei $e_{1},\dotsc ,e_{n}$ die kanonische Basis von $K^{n}$ sei. Ist nun $P\in A$ , so können die affinen Koordinaten von $f^{{-1}}(P)\in K^{n}$ bezüglich der affinen Basis $0,e_{1},\dotsc ,e_{n}$ im affinen Raum $K^{n}$ wie oben berechnet werden. Diese Zahlen heißen auch die affinen Koordinaten von bezüglich des durch $P_{0},\dotsc ,P_{n}\in A$ bestimmten affinen Koordinatensystems. Die Affinität $f:K^{n}\rightarrow A$ wird auch affines Koordinatensystem genannt; dem liegt die Vorstellung zu Grunde, dass die Koordinaten von $K^{n}$ nach trägt. In dieser Auffassung ist f(0) der Ursprung und $f^{{-1}}(P)$ die Koordinatendarstellung des Ortsvektors eines Punktes .

Beispiele

Zahlenbeispiel

Sei $A=\mathbb{R} ^{3}$ der dreidimensionale reelle Koordinatenraum. Dann bilden die drei Punkte (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) zusammen mit dem Ursprung (0,0,0) eine affine Basis. Für einen Punkt $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ sind die Zahlen x,y,z die affinen Koordinaten bezüglich dieser Basis.

Wählt man die affine Basis aus dem Ursprung und den Punkten (1,0,0) , (0,1,0) und (-1,1,1) , so sind die affinen Koordinaten $\lambda ,\mu ,\nu$ zu einem Punkt $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ durch $\lambda =x+z,\ \mu =y-z,\ \nu =z$ gegeben, denn es gilt

$(x+z){\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+(y-z){\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Geradengleichung

Geraden sind eindimensionale affine Unterräume und je zwei verschiedene Punkte $p_{0},p_{1}\in g$ bilden eine affine Basis. Die Darstellung der Punkte von in affinen Koordinaten führt zur Geradengleichung in der sogenannten Parameterform, denn es ist

$g=\{\lambda p_{0}+\mu p_{1}|\,\lambda ,\mu \in \mathbb{R} ,\lambda +\mu =1\}=\{(1-\mu )p_{0}+\mu p_{1}|\,\mu \in \mathbb{R} \}=\{p_{0}+\mu (p_{1}-p_{0})|\,\mu \in \mathbb{R} \}$ .

Gleichungssysteme

Die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bildet einen affinen Raum. Ist $p_{0}$ eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und $u_{1},\dotsc ,u_{n}$ eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems, so bilden $p_{0},p_{1}=p_{0}+u_{1},\dotsc ,p_{n}=p_{0}+u_{n}$ eine affine Basis des affinen Lösungsraums des inhomogenen Gleichungssystems. Zu jeder Lösung gibt es daher eindeutig bestimmte $\lambda _{0},\dotsc ,\lambda _{n}\in K$ mit $p=\lambda _{0}p_{0}+\dotsb +\lambda _{n}p_{n}$ und $\lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1$ . Diese Betrachtung zeigt die bekannte Tatsache, dass es für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem keine ausgezeichnete spezielle Lösung gibt.

Konvexkombinationen

Eine Konvexkombination von n+1 Punkten $p_{0},\dotsc ,p_{n}$ ist eine spezielle Darstellung in baryzentrischen affinen Koordinaten $\lambda _{0},\dotsc ,\lambda _{n}\in \mathbb{R}$ , bei der nicht nur $\lambda _{0}+\dotsb +\lambda _{n}=1$ sondern darüber hinaus auch $\lambda _{i}\geq 0$ für alle $i=1,\dotsc ,n$ gilt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de