Satz von Hahn-Banach

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z.B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Endlichdimensionaler Fall

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ dar, so kann man die jeweiligen -ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

$x_{i}\colon X\to {\mathbb K},\quad (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto v_{i}$

auffassen (dabei sei $\mathbb {K}$ der Grundkörper $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ ). Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

$v=w\iff x_{i}(v)=x_{i}(w)\ {\mathrm {f{\ddot u}r}}\ i=1,\ldots ,n.$

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d.h. sind $v\neq w$ verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index , so dass $x_{i}(v)\neq x_{i}(w)$ ist. Die $x_{i}$ sind stetige lineare Funktionale auf dem Koordinatenraum.

In unendlichdimensionalen Räumen gibt es i. d. R. keine den Koordinaten $x_{i}$ vergleichbare Konstruktion, wenn man dabei auf Stetigkeit der Koordinaten besteht. Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum) die Punkte trennt.

Formulierung

Es sei ein Vektorraum über ${\mathbb K}\in \{{\mathbb R},{\mathbb C}\}$ .

Es seien nun

$Y\subseteq X$ ein linearer Unterraum;
$p\colon X\to {\mathbb R}$ eine sublineare Abbildung;
$f\colon Y\to {\mathbb K}$ ein lineares Funktional, für das $\operatorname {Re}f(y)\leq p(y)$ für alle $y\in Y$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $F\colon X\to {\mathbb K}$ , so dass

$F|_{Y}=f\,\,$ und
$\operatorname {Re}F(x)\leq p(x)$

für alle $x\in X$ gilt.

Der Beweis dieses grundlegenden Satzes ist nicht konstruktiv. Man betrachtet die Menge aller Fortsetzungen $g\colon Z\rightarrow {{\mathbb K}}$ von auf Teilräume mit $Y\subset Z\subset X$ , für die $\operatorname {Re}g(z)\leq p(z)$ für alle $z\in Z$ gilt. Dann zeigt man mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung $F\colon X\to {{\mathbb K}}$ ist.

Korollare

Häufig ist eine der folgenden Aussagen, die leicht aus obigem Satz hergeleitet werden können, gemeint, wenn der „Satz von Hahn-Banach“ zitiert wird:

Ist $X\neq \{0\}$ ein normierter Raum, so gibt es für jedes $x\in X$ ein lineares Funktional mit Norm 1, für das $f(x)=\|x\|$ gilt. Sind $x,y\in X$ verschiedene Punkte, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf $x-y\neq 0$ anwendet.
Ist allgemeiner ein normierter Raum, ein Unterraum, und liegt $x\in X$ nicht im Abschluss von , so gibt es ein lineares Funktional mit Norm 1, das auf verschwindet und für das $f(x)=\|x\|$ gilt.
Ist ein normierter Raum, ein Teilraum und ein stetiges lineares Funktional auf , so kann zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: die Einschränkung von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung $X'\to Y'$ der Dualräume.
Ist ein normierter Raum, so ist ein Unterraum $U\subset X$ genau dann dicht in , falls aus $x'\in X'$ und $x'|_{U}=0$ stets folgt.
Weitere Folgerungen geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Basierend auf einem Artikel in:

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