Algebra

Aryabhata I.

Eine Seite aus dem Buch al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik; es befasst sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet (zum Beispiel x + 1 = 2); die Unbekannte wird (bzw. die Unbekannten werden) mit Buchstaben dargestellt. Als Begründer der Algebra gilt der Grieche Diophantos von Alexandria, der irgendwann zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr. lebte. Sein 13 Bände umfassendes Werk Arithmetica ist das älteste bis heute erhaltene, in dem die algebraische Methode (also das Rechnen mit Buchstaben) verwendet wird.

Geschichte

Bereits 2000 Jahre vor unserer Zeitrechnung waren die alten Babylonier in der Lage, Gleichungssysteme der Form

${\begin{aligned}x+y=&p\\xy=&q\,,\end{aligned}}$

die äquivalent zu einer quadratischen Gleichung der Form $x^{2}+q=px$ sind, zu lösen. Solche Gleichungen können irrationale Zahlen als Lösungen haben. Die Babylonier interessierten sich jedoch nicht für exakte Lösungen, sondern berechneten, meist mit Hilfe linearer Interpolation, ungefähre Lösungen.

Die babylonische Algebra war weiter fortgeschritten als die ägyptische Algebra der gleichen Zeit. Während die Babylonier sich mit quadratischen Gleichungen befassten, untersuchten die Ägypter hauptsächlich lineare Gleichungen.

Der Papyrus Rhind, eine der wichtigsten Quellen für das heutige Wissen über die Mathematik im Alten Ägypten, wurde um 1650 v. Chr. von Ahmes aus einem älteren Werk übersetzt. In dem Papyrus werden lineare Gleichungen der Form x+ax=b und x+ax+bx=c , wobei , , und bekannt sind und die Unbekannte ist, mit geometrischen Methoden gelöst.

Klassische und moderne Algebra

Die Algebra teilt man bezüglich ihrer Entstehung in die klassische und die moderne Algebra ein. Methoden der Algebra, die bis in das 19. Jahrhundert hinein entwickelt wurden, nennt man 'klassische Algebra'. In ihr untersucht man algebraische Gleichungen

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=0$ ,

auf Eigenschaften ihrer Lösungen. Wichtige Aussagen im Bereich der klassischen Algebra sind der von Gauß bewiesene Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass eine algebraische Gleichung -ten Grades in $\mathbb {C}$ genau Lösungen hat, und der Satz von Abel, der besagt, dass es für eine algebraische Gleichung 5. Grades im Allgemeinen keine Lösungsformel ähnlich der PQ-Formel gibt.

Um 1830 entwickelte Évariste Galois (1811-1832) die Galoistheorie. Diese kann als der Beginn der modernen Algebra verstanden werden. Seit dieser Zeit entwickelte sich die Algebra weg von der Theorie der algebraischen Gleichungen hin zur Gruppen- und Ringtheorie.

Am Beispiel des großen fermatschen Satzes sieht man allerdings, dass sich die klassische und die moderne Algebra nicht klar trennen lassen.

Der Satz besagt: Ist eine natürliche Zahl größer als 2, so kann die -te Potenz jeder natürlichen Zahl ungleich null nicht in die Summe zweier -ter Potenzen natürlicher Zahlen ungleich null zerlegt werden. Formal bedeutet dies:

Die Gleichung

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

ist für positive ganze Zahlen $a,b,c,n$ unlösbar, wenn größer als zwei ist.

Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwierig geworden ist, den Begriff der Algebra in einer knappen Definition anzugeben. Im Folgenden werden einige Teilgebiete der Algebra und einige an die Algebra angrenzende, andere Teilgebiete erwähnt. Diese sind allerdings keineswegs scharf voneinander abgrenzbar.

Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit speziellen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern und deren Verknüpfung.
Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
Die multilineare Algebra untersucht im Gegensatz zur Tensoranalysis algebraische Eigenschaften von Tensoren und anderen multilinearen Abbildungen.
Die kommutative Algebra befasst sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren und ist eng mit der algebraischen Geometrie verzahnt.
Die reelle Algebra untersucht algebraische Zahlkörper, auf denen eine Anordnung definiert werden kann. Weiter werden darauf positive Polynome untersucht.
Die Computer-Algebra beschäftigt sich mit der symbolischen Manipulation algebraischer Ausdrücke. Einen Schwerpunkt bildet das exakte Rechnen mit ganzen, rationalen und algebraischen Zahlen sowie mit Polynomen über diesen Zahlenräumen. Auf der theoretischen Seite ist diesem Teilgebiet die Suche nach effizienten Algorithmen sowie die Ermittlung der Komplexität dieser Algorithmen zuzuordnen. Auf der praktischen Seite wurde eine Vielzahl von Computeralgebrasystemen entwickelt, die die rechnergestützte Manipulation algebraischer Ausdrücke ermöglichen.
Die universelle oder allgemeine Algebra betrachtet ganz allgemein algebraische Strukturen.
Die algebraische Geometrie untersucht Nullstellen von Systemen algebraischer Gleichungen.
Die algebraische Zahlentheorie untersucht Fragestellungen der Zahlentheorie mit Hilfe von Methoden der Algebra.
Die homologische Algebra beinhaltet Methoden, mit denen ursprünglich Fragestellungen der Topologie im Rahmen der algebraischen Topologie auf algebraische Sachverhalte zurückgeführt wurden.

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