Resonanzwiderstand

Der Resonanzwiderstand ist der Scheinwiderstand einer elektrischen Schaltung bei einer Resonanzfrequenz. Abhängig von der Schaltung der Bauelemente kann es auch mehrere Resonanzfrequenzen geben. Man unterscheidet zwischen Reihenresonanz mit besonders geringem und Parallelresonanz mit besonders großem Resonanzwiderstand.

Erläuterung

Elektronische Schaltungen enthalten immer auch Spulen und Kondensatoren als frequenzabhängige Blindwiderstände, damit man Signale unterschiedlicher Frequenz trennen kann. Deren Werte werden im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung als komplexe Zahlen angegeben, wobei die Imaginäranteile von Spulen und Kondensatoren entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. Wenn sich bei gewissen Frequenzen diese Imaginäranteile kompensieren, liegt Resonanz vor.

Besonders einfache Verhältnisse ergeben sich, wenn die Schaltung ein Schwingkreis mit nur zwei Bauelementen ist:

Bei einem Parallelschwingkreis sind die Spannungen an beiden Bauelementen gleich. Mit steigender Frequenz nimmt der Strom durch den Kondensator zu, wogegen der Strom durch die Spule sinkt. Bei einer ganz bestimmten Frequenz haben sie den gleichen Wert, aber entgegengesetzte Richtung. Dann kompensieren sich die Ströme und es fließt kein Gesamtstrom in den Zuleitungen zum Schwingkreis. Auf dieser Frequenz isoliert die Schaltung, was einem unendlich großen Resonanzwiderstand entspricht. Da die Phasenverschiebung von realen Bauelementen stets kleiner als 90° ist, kann man mit diesen keine perfekte Kompensation erzielen, weshalb der Resonanzwiderstand Werte von üblichen Isolationswiderständen nicht übersteigen kann.
Bei einem Reihenschwingkreis sind die Ströme gleich und können einen beliebigen Wert annehmen. Verwendet man ideale, also verlustfreie Bauelemente, können sich bei einer ganz bestimmten Frequenz, der Resonanzfrequenz, die Spannungen an Spule und Kondensator kompensieren. Dann ist die Gesamtspannung Null, was einem frequenzselektiven Kurzschluss entspricht. Bei realen Bauteilen kann keine perfekte Kompensation erreicht werden, deshalb sinkt der Resonanzwiderstand bestenfalls in den Milliohm-Bereich.

Mitunter wird (falsch) vermutet, dass bei verschwindender Gesamtspannung auch beide Teilspannungen sehr gering sein müssen. Tatsächlich trifft aber das Gegenteil zu: Die Resonanzwandler in Scannern und Notebooks erzeugen mit Hilfe dieser Resonanzüberhöhung aus nur 12 V etwa 700 V Wechselspannung an den Anschlüssen von Spule und Kondensator zum Betrieb der Leuchtröhren.

Genauso falsch ist die Annahme, dass im Parallelschwingkreis bei Resonanz überhaupt kein Strom mehr fließt. Bei Resonanz kann durch die Spule ein erheblich höherer Strom als in der Zuleitung zum Schwingkreis fließen. Der Quotient beider Werte – der Gütefaktor – kann bei tiefen Frequenzen und einer verlustarmen Spule Werte um 100 erreichen, bei UKW-Frequenzen und einem versilberten Topfkreis sogar Werte über 1000.

Grundlagen

Allgemein

Ersatzschaltbild für komplexe Widerstände/Leitwerte: 1. Impedanz Z → 2. Admittanz Y

Wie bereits oben erwähnt, entsteht beim Durchfluss von Wechselstrom durch einen Leiter, eine Spule oder einen Kondensator neben dem ohmschen Widerstand R auch ein Blindwiderstand X, dessen Größe abhängig von der Frequenz und dem Verlauf des Wechselstromes ist. Um dies berechnen zu können, bedient man sich der komplexen Wechselstromrechnung, bei der man für den Widerstand R äquivalent die Impedanz Z und für den Leitwert G die Admittanz Y benutzt. Die Impedanz bzw. Admittanz beinhaltet sowohl den realen/ohmschen Anteil als auch den Blindanteil des Widerstandes oder Leitwertes. Die Impedanz und Admittanz sind, wie auch bei realem Leitwert und Widerstand, jederzeit ineinander umwandelbar. Unter Annahme idealer Bauelemente ist bei der Spule und beim Kondensator der reale Anteil (R bzw. G) null und beim Leiter/Widerstand der Blindanteil (X bzw. B) null. Dies wird der Einfachheit halber auch bei den meisten Berechnungen angenommen. Beim Resonanzwiderstand ist dies allerdings nicht möglich, da gerade diese Anteile den Resonanzwiderstand bestimmen.

Der Resonanzwiderstand ist also abhängig von den ohmschen Anteilen und vom Verlauf des Stromes. Der Verlauf beeinflusst ganz speziell die Resonanzfrequenz und den Blindwiderstand oder Blindleitwert und ist damit ein elementarer Bestandteil jeder Berechnung. Da der sinusförmige Verlauf in der Elektrotechnik die größte Bedeutung hat, wird in der Folge dieser Verlauf auch etwas genauer betrachtet.

Um Verwirrungen zu vermeiden, sollte vorher klar sein, dass wir zur Berechnung des Resonanzwiderstandes immer die Impedanz des gesamten Schwingkreises betrachten. Dies hat zur Folge, dass gerade bei parallelen Impedanzen der Realteil R (Wirkwiderstand) des gesamten Schwingkreises auch frequenzabhängig sein kann. Dies kann bei der Betrachtung von Impedanzen einzelner Bauelemente niemals passieren, da dort der Realteil immer und ausschließlich aus ohmschen Anteilen besteht.

Mathematisch

Im Allgemeinen entspricht der Resonanzwiderstand dem Scheinwiderstand bei Resonanz. Der Scheinwiderstand entspricht dem Betrag der Impedanz. Da im Fall der Resonanz der Blindwiderstand Null wird, ist der Resonanzwiderstand Z_r der Realteil der Impedanz.

Impedanz:

$\underline Z = R + jX$

$\underline Z = \operatorname {Re} \{\underline Z\} + j\operatorname {Im} \{\underline Z\}$

Scheinwiderstand:

$Z = |\underline Z|= \sqrt{R^2 + X^2}$

Resonanzwiderstand: (Ist der Scheinwiderstand bei Resonanz)

Resonanzbedingung:

$\operatorname {Im} \{\underline Z\} = X = 0$ also (Blindwiderstand des Schwingkreises ist Null)

Daraus folgt

$Z_r = |R + j0| = \sqrt{R^2 + 0^2}$ ,

also

$Z_r = R = \operatorname {Re} \{\underline Z\}$ .

Es ist zu sehen, dass der Scheinwiderstand des Schwingkreises bei Resonanz, also der Resonanzwiderstand, nur durch den Wirkwiderstand repräsentiert wird. Man wird in der späteren Berechnung allerdings sehen, dass der Wirkwiderstand des Parallelschwingkreises, anders als der bei Bauelementen, frequenzabhängig ist und somit die Resonanzfrequenz eine entscheidende Rolle bei der Berechnung spielt.

Im Folgenden bedeutet:

= Blindwiderstand

= Wirkwiderstand

= imaginäre Einheit

= Impedanz des Kondensators

$Z_{L}$ = Impedanz der Spule

$X_{C}$ = kapazitiver Blindwiderstand

= induktiver Blindwiderstand

$R_{{Ohm}}$ = ohmscher Widerstand

= kapazitiver Verlustwiderstand

= induktiver Verlustwiderstand

Der Verlustwiderstand beinhaltet auch die Übergangswiderstände und Leitungsverluste. Ein in Reihe geschalteter ohmscher Vorwiderstand wirkt additiv auf den Verlustwiderstand, also $R_{L_{\rm{ges}}} = R_{\rm{Verlust}} + R_{\rm{Ohm}}$

Reihenschwingkreis

Verlustfreier Reihenschwingkreis

Resonanzwiderstand eines Reihenschwingkreises

Der Reihenschwingkreis (auch Saugkreis genannt) besteht aus einer Spule und einem Kondensator, die in Reihe geschaltet sind. Der Resonanzwiderstand wäre bei idealen Bauelementen null, die Verlustwiderstände bzw. ein ohmscher Widerstand heben den Resonanzwiderstand jedoch an.

Allgemeingültige Formeln

Impedanz

Die Impedanz des Reihenschwingkreises ergibt sich folgendermaßen:

Herleitung:

$\underline Z = \underline {Z_C} + \underline {Z_L} = R_C + jX_C + R_L + jX_L$

Formel:

$\underline Z = (R_C + R_L) + j(X_L + X_C)$

Resonanzfrequenz

Bei der Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises muss folgende Bedingung erfüllt sein:

$\operatorname {Im} \{\underline Z\} = 0$

Es ergibt sich:

$\, X_L + X_C = 0$

Resonanzwiderstand

Für den Resonanzwiderstand gilt dann:

$Z_r = \operatorname {Re}\{\underline Z\} = R_C + R_L$

Für sinusförmige Verläufe

Resonanzfrequenz

Durch Einsetzen der Formeln für den Blindwiderstand kommt man zu:

$\omega_r L - \frac{1}{\omega_r C} = 0$

$\omega_r = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ (Thomsonsche Schwingungsgleichung)

Resonanzwiderstand

Es gilt die allgemeine Formel:

$Z_r = \operatorname {Re}\{\underline Z\} = R_C + R_L$

Anmerkung

Es ist zu sehen, dass der Resonanzwiderstand den geringsten Widerstand eines Reihenschwingkreises darstellt. Der Resonanzwiderstand eines Reihenschwingkreises ergibt sich unabhängig vom Verlauf der Wechselspannung. Für Spulen und Kondensatoren mit hoher Güte ist der Einsatz eines ohmschen Vorwiderstandes unablässig, da die Verlustwiderstände dann im Verhältnis zum Innenwiderstand der Spannungsquelle so gering sind, dass sie im Resonanzfall praktisch einen Kurzschluss darstellen.

Parallelschwingkreis

Verlustloser Parallelschwingkreis

Resonanzwiderstand eines Parallelschwingkreises

Der Parallelschwingkreis (auch Sperrkreis genannt) besteht aus einer Spule und einem Kondensator, die parallel geschaltet sind. Bei idealen Bauelementen wäre der Resonanzwiderstand unendlich hoch, die Verlustwiderstände senken den Wert des Resonanzwiderstandes allerdings deutlich.