Poynting-Vektor

Der Poynting-Vektor ${\vec {S}}$ (benannt nach dem britischen Physiker John Henry Poynting) kennzeichnet in der Elektrodynamik (einem Teilgebiet der Physik) die Dichte und die Richtung des Energietransportes (Energieflussdichte) eines elektromagnetischen Felds. Der Begriff des Energieflusses ist identisch mit dem physikalischen Begriff der Leistung, die Bezeichnung Energieflussdichte ist daher gleichwertig zur Leistungsdichte.

Der Poynting-Vektor wird im Satz von Poynting betrachtet, einem Erhaltungssatz der Elektrodynamik.

Mathematische Beschreibung

Der Poynting-Vektor ist ein dreikomponentiger Vektor, der in die Raumrichtung des Energieflusses zeigt. Sein Betrag entspricht

einerseits der Leistungsdichte (oder Intensität) der Welle (der Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zum Poynting-Vektor hindurchtritt):

${\mathrm {{\frac {Energie}{Fl{\ddot {a}}che\cdot {\mathrm {Zeit}}}}={\frac {Leistung}{Fl{\ddot {a}}che}}={\frac {J}{m^{2}\cdot s}}={\frac {W}{m^{2}}}={\frac {N}{m\cdot s}}}}$

andererseits der Impulsdichte der Welle (der Impuls, der pro Einheitsvolumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist), multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit :

$\mathrm {{\frac {{Impuls}\cdot {Geschwindigkeit}^{2}}{Volumen}}={\frac {N\cdot s}{m^{3}}}\cdot {\frac {m^{2}}{s^{2}}}={\frac {N}{m\cdot s}}}$

Bei transversalelektromagnetischen Wellen (TEM-Wellen) ist der Poynting-Vektor das Kreuzprodukt aus elektrischer Feldstärke ${\vec {E}}$ und magnetischer Feldstärke ${\vec {H}}$ :

${\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}$

Im Vakuum gilt

${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\,({\vec {E}}\times {\vec {B}})$

mit

der magnetischen Feldkonstanten $\mu _{0}$
der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ .

Die Leistungsdichte einer TEM-Welle ist gegeben durch

$\left|{\vec {S}}\right|={\frac {\left|{\vec {E}}\right|^{2}}{Z_{0}}}$

wobei

der Wellenwiderstand des Vakuums
- $\varepsilon _{0}$ die elektrische Feldkonstante ist.

In obigen Gleichungen sind die Feldgrößen zeitabhängig gemeint.

Für den zeitlichen Mittelwert ${\overline {\left|{\vec {S}}\right|}}$ der Leistungsdichte über eine Periodendauer $\textstyle T$ gilt mit $E_{\text{eff}}={\frac {\hat {E}}{\sqrt {2}}}$

mit

dem Effektivwert $E_{\text{eff}}$
der Amplitude ${\hat E}$ einer sinusförmigen elektrischen Feldstärke:

${\overline {\left|{\vec {S}}\right|}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Z_{0}}}={\frac {{\hat {E}}^{2}}{2\cdot Z_{0}}}$

In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, z.B. doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im Allgemeinen nicht.

Der Poynting-Vektor beschreibt drei der zehn unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.

Beispiele

Energieausbreitung im Koaxialkabel

Feldlinienbild im Koaxialkabel bei der TEM-Grundmode

Der typische Betrieb eines Koaxialleiters erfolgt bei Wellenlängen, die größer sind als der Durchmesser des Koaxialleiters. In diesem Frequenzbereich, der sich typischerweise von 0 Hz bis in den einstelligen GHz-Bereich erstreckt, breitet sich die Energie in der Koaxialleitung als TEM-Grundmode aus. Das zugehörige Feldlinienbild sieht dann aus wie im nebenstehenden Bild.

Bei idealtypischer Betrachtung nimmt der Poyntingvektor ausschließlich im Bereich zwischen Außenleiter und Innenleiter einen von null verschiedenen Wert an; im metallischen Innenleiter verschwindet der Poyntingvektor, da die elektrische Feldstärke gleich null ist, außerhalb des Koaxialleiters verschwindet der Poyntingvektor, da hier der magnetische Feldvektor gleich null ist. Dies liegt wiederum daran, dass sich die Wirkungen der elektrischen Ströme in Innen- und Außenleiter gegenseitig aufheben.

Gemäß dem Satz von Poynting zeigt der Poyntingvektor die Ausbreitungsrichtung der elektrischen Leistung an. Wegen des Verschwindens der elektrischen Feldstärke im Metall zeigt der Poyntingvektor exakt in Längsrichtung des Koaxialleiters. Das bedeutet, die Energieausbreitung im Koaxialleiter findet ausschließlich im Dielektrikum statt. Da der Satz von Poynting ausgehend von den allgemeinen Feldgleichungen ohne Einschränkung auf den Frequenzbereich hergeleitet werden kann, gilt diese Aussage auch für die Übertragung von elektrischer Leistung mit Gleichspannungen und -strömen.

Auch das Verhalten eines widerstandsbehafteten Leiters lässt sich im Feldmodell erklären. Die folgende Darstellung erfolgt anhand des im Bild dargestellten Koaxialleiters: Hat der metallische Leiter einen von null verschiedenen endlichen Widerstand, so entsteht durch den Stromfluss im Leiter entsprechend dem ohmschen Gesetz ein elektrisches Feld. Dieses Feld zeigt im Innenleiter in Längsrichtung (x) des Leiters und ist im Mantelleiter in die entgegengesetzte Richtung (o) gerichtet. Die veränderte Feldverteilung bewirkt, dass auch das elektrische Feld im Dielektrikum eine Komponente in Längsrichtung erhält. Der zu E und H orthogonale Poyntingvektor S weist infolgedessen eine radiale Feldkomponente auf, die den Übergang der Verlustenergie ins Metall beschreibt.

Poyntingvektor bei statischen Feldern

Poyntingvektor in einem statischen Feld

Die Betrachtung des Poyntingvektors bei statischen Feldern zeigt die relativistische Natur der Maxwellgleichungen und ermöglicht ein besseres Verständnis der magnetischen Komponente $q\cdot ({\vec v}\times {\vec B})$ der Lorentzkraft.

Zur Veranschaulichung wird das nebenstehende Bild betrachtet: es beschreibt den Poyntingvektor in einem Zylinderkondensator, der sich in einem H-Feld befindet, das von einem Permanentmagneten erzeugt wird. Obwohl nur statische elektrische und magnetische Felder vorliegen, ergibt die Berechnung des Poyntingvektors eine im Kreis fließende elektromagnetische Energie, der sich ein Drehimpuls zuordnen lässt. Er ist die Ursache für die bei der Entladung auftretende magnetische Komponente der Lorentzkraft. Während des Entladens wird der in der Energieströmung enthaltene Drehimpuls abgebaut und an die Ladungen des Entladestromes abgegeben. Das scheinbar sinnlose und paradoxe Ergebnis der kreisenden Energieströmung erweist sich also geradezu als notwendig, um dem Gesetz der Drehimpulserhaltung gerecht zu werden.

Siehe auch

Bestrahlungsstärke

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de