Zeitdiskretes Signal

Ein zeitdiskretes Signal, manchmal auch nur als diskretes Signal bezeichnet, ist eine spezielle Form eines Signals, das nur zu bestimmten, üblicherweise äquidistanten Zeitpunkten definiert ist. Es wird aus einem zeitkontinuierlichen Signal dadurch gewonnen, dass dem zeitkontinuierlichen Signalverlauf zu bestimmten Zeitpunkten ein Signalwert entnommen wird. Jeder Signalwert ist wertkontinuierlich und kann in seiner Auflösung beliebig genau sein. Ein zeitdiskretes Signal kann dann durch eine zusätzliche Quantisierung der einzelnen Signalwerte, das bedeutet eine Reduzierung des Wertevorrates auf eine bestimmte, endliche Anzahl von Niveaus, in ein Digitalsignal umgewandelt werden.

Zeitdiskrete Signale spielen in der Signaltheorie und der Informationstheorie zur Systembeschreibung und als Vorstufe zur digitalen Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle.

Allgemeines

In grau der kontinuierliche Signalverlauf; die vertikalen roten Linien stellen das daraus gebildete zeitdiskrete Signal dar.

Ein zeitdiskretes Signal kann mathematisch als eine Folge x[n] von reellen Zahlen mit $n\in \mathbb {N}$ beschrieben werden. Der Index n stellt die auf die Abtastrate normierte Zeitvariable dar – üblicherweise erfolgt die Abtastung zu konstanten zeitlichen Abständen T_s. Der Kehrwert wird als Abtastrate oder als Abtastfrequenz f_s bezeichnet. Die Werte des zeitdiskreten Signal zwischen zwei Abtastzeitpunkten und p+1 sind nicht Null, sondern sind nicht definiert.

Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem beschreibt in diesem Fall den Effekt, dass in der Folge x[n] dann die vollständige Information des kontinuierlichen Signalverlaufs enthalten ist, wenn dessen höchsten Frequenzanteile f_a kleiner als die halbe Abtastfrequenz f_s sind:

$f_{a}<{\frac {f_{s}}{2}}$

Ein kontinuierliches Signal kann, als Beispiel und in der rechten Abbildung dargestellt, durch die Funktion

$2^{-x}$

beschrieben werden. Das daraus abgeleitete zeitdiskrete Signal ist mit roten vertikalen Linien kennzeichnet und lässt sich ausdrücken als:

$x[n]={\begin{cases}0,&{\text{für }}(x<0)\\2^{-n},&{\text{mit }}n={\frac {1}{2}}p{\text{ ; für }}p=0,1,2,\ldots ,N\end{cases}}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de