Logarithmische Größe

Unter Logarithmischen Größen versteht man in der Elektrotechnik, Nachrichtentechnik und Akustik Größen, die als Logarithmus des Verhältnisses zweier Größenwerte gebildet werden.

Wird der Logarithmus des Verhältnisses von einem Ausgangswert zu einem variablen Eingangswert gebildet, wie bei der Verstärkung (siehe Audioverstärker, Verstärker (Elektrotechnik) oder Verstärkung (Physik)), so nennt man die logarithmische Größe ein Maß. Ist der Bezugswert hingegen fest, wie zum Beispiel bei der Lautstärke, so spricht man von einem Pegel.

Bei Verwendung des dekadischen Logarithmus werden Pegel in der Hilfsmaßeinheit Bel bzw. ihrem zehnten Teil, dem Dezibel (Einheitenzeichen dB), bei Verwendung des natürlichen Logarithmus in Neper (Einheitenzeichen Np) angegeben.

Pegel

Definition

Ein Pegel (Signalpegel) ist eine logarithmische Größe, die durch das logarithmierte Verhältnis einer Leistungswurzelgröße (früher Feldgröße genannt) oder einer Leistungsgröße zu einem Bezugswert definiert ist, der die gleiche Dimension wie die Zählergröße hat. Zur näheren Bezeichnung des Pegels wird die Zählergröße herangezogen. Als Formelzeichen ist (für level) üblich.

Beispiel:

$L=\lg {\frac {P}{P_{0}}}\;{\mathrm {B}}$

ist der Pegel der Leistung bzw. der Leistungspegel bezogen auf den Bezugswert $P_{0}$ . Wegen der handlicheren Zahlenwerte werden im praktischen Gebrauch Pegel statt in Bel nahezu ausnahmslos in Dezibel angegeben. Für das angeführte Beispiel ergibt sich so:

$L=10\cdot \lg {\frac {P}{P_{0}}}\;{\mathrm {dB}}$ .

Wird von zwei Pegeln mit demselben Bezugswert die Differenz gebildet, so hängt diese nicht vom Bezugswert ab (siehe Rechenregeln für Logarithmen). Für das Beispiel der Differenz von zwei Leistungspegeln ergibt sich:

$\Delta L=L_{2}-L_{1}=10\cdot \lg {\frac {P_{2}}{P_{0}}}\;{\mathrm {dB}}-10\cdot \lg {\frac {P_{1}}{P_{0}}}\;{\mathrm {dB}}=10\cdot \lg \left({\frac {P_{2}}{P_{0}}}\cdot {\frac {P_{0}}{P_{1}}}\right)\;{\mathrm {dB}}$

$\Delta L=10\cdot \lg {\frac {P_{2}}{P_{1}}}\;{\mathrm {dB}}$ .

Obwohl ebenfalls in Dezibel angegeben, ist die Größe $\Delta L$ kein Pegel, sondern ein Maß, da die Größe im Nenner des logarithmierten Verhältnisses kein fester Bezugswert ist. Gelegentlich wird für $\Delta L$ auch noch die veraltete und irreführende Bezeichnung „relativer Pegel“ verwendet.

Pegel von Feldgrößen und von Leistungsgrößen

Leistungswurzelgrößen bzw. Feldgrößen wie die elektrische Spannung oder der Schalldruck dienen der Beschreibung von physikalischen Feldern. Das Quadrat des Effektivwertes einer solchen Feldgröße ist in einem linearen System proportional zu dessen energetischem Zustand, der über eine Leistungsgröße erfasst wird. In diesem Kontext werden auch Größen, die mit Energie zusammenhängen, als Leistungsgrößen bezeichnet. Ohne die genauen Gesetzmäßigkeiten kennen zu müssen, folgt daraus, dass das Verhältnis zweier Leistungsgrößen gleich dem Verhältnis der Quadrate der zugehörigen Effektivwerte der Feldgrößen ist. Für die direkte Berechnung von Pegeln aus Verhältnissen von Effektivwerten von Feldgrößen ergibt sich so ein zusätzlicher Faktor 2, zum Beispiel bei der Berechnung des Spannungspegels L_u aus dem Effektivwert der elektrischen Spannung :

$L_{u}=10\cdot \lg {\frac {U_{1}^{2}}{U_{0}^{2}}}\;{\mathrm {dB}}=20\cdot \lg {\frac {U_{1}}{U_{0}}}\;{\mathrm {dB}}$ .

Für einen Spannungspegel von 10 Dezibel muss daher die Spannung $U_{1}$ das $\sqrt{10}$ -fache (ca. 3,16-fache) des Bezugswertes $U_{0}$ sein.

Vorteile der Verwendung von Pegeln

In der Physik bewegen sich Signalamplituden häufig über mehrere Größenordnungen: Beispielsweise Megavolt zu Nanovolt als Verhältnis von Feldgrößen und Megawatt zu Pikowatt als Verhältnis von Leistungsgrößen. Durch den Logarithmus sind diese Größen für den praktischen Gebrauch in gut lesbaren, meistens zwei- bis dreistelligen Zahlen darstellbar.

Kennlinien von Verstärkern, Filtern oder anderen elektronischen Elementen und Spektren in der Akustik lassen sich einfacher und übersichtlicher darstellen, da das Diagramm wegen der logarithmischen Darstellung eine hohe Dynamik erfasst.

Rechnen mit Pegeln

Da für Pegelrechnungen die Rechenregeln für Logarithmen gelten, gehen z.B. Multiplikationen der physikalischen Größen in Additionen über. Der Ausgangspegel hintereinandergeschalteter Verstärker- oder Dämpfungselemente (z.B. Kabel oder Steckverbindungen) kann durch einfache Addition des Eingangspegels mit den einzelnen logarithmischen Verstärkungs- bzw. Dämpfungswerten erhalten werden.

Für Leistungsgrößen wie Energie, Intensität und Leistung gilt: Da lg 10 = 1 und lg 2 ≈ 0,3 ist, kann man sich als Faustregel merken:

+10 dB bedeutet Verzehnfachung, +3 dB bedeutet Verdopplung, −10 dB bedeutet ein Zehntel, −3 dB die Hälfte.

Andere Werte kann man hieraus abschätzen, z.B. +16 dB = (+10+3+3) dB, also: Ursprungswert×10×2×2; +16 dB ist somit das 40-fache.

Für Feldgrößen wie beispielsweise lineare Schallfeldgrößen, elektrische Spannung und Stromstärke, gilt die Faustregel:

+20 dB entspricht einer Verzehnfachung, +6 dB bedeutet eine Verdopplung, −20 dB einem Zehntel, −6 dB eine Halbierung.

Andere Werte kann man hieraus abschätzen; z.B. ergibt sich für eine Dämpfung −26 dB bezogen auf 1 Volt: −20 dB entspricht einem Zehntel; daraus ergibt sich: 0,1 Volt = 100 mV; weitere −6 dB (entsprechend einer Halbierung) bezogen auf diese 100 mV ergeben somit 50 mV.

Anwendung

Pegelangaben sind speziell in der Akustik weit verbreitet. Anwendungen finden sich aber auch in der Hochfrequenztechnik als Teil der Nachrichtentechnik, der Tontechnik und der Automatisierungstechnik. Zur speziellen Anwendung bei Spannungen in der Elektrotechnik siehe Spannungspegel.

Bei Pegelangaben hörbarer Schalle werden überwiegend Filter zur Frequenzbewertung benutzt. Diese Filter sollen ein Messergebnis herbeiführen, das mit dem tatsächlichen Lautstärkeeindruck besser zusammenpasst als die unbewertete Angabe. Nach allen Standards der ISO ist eine Frequenzbewertung durch einen Index an der Pegelgröße anzugeben. Abweichend davon werden häufig die folgenden Schreibweisen benutzt, um die Verwendung der unterschiedlichen Bewertungsfilter anzuzeigen.

dB_A, dB(A), „dBA“
dB_B, dB(B), „dBB“
dB_C, dB(C), „dBC“

Maße

Als Maß wird ein logarithmiertes Verhältnis von zwei Feldgrößen oder zwei Leistungsgrößen gebildet, das zur Beschreibung der Eigenschaften eines als Zweitor betrachteten Systems, beispielsweise eines Verstärkers, dient. In der Regel wird das Wort „-maß“ als Endung eines zusammengesetzten Wortes verwendet, das die Größe näher beschreibt.

Beispiele für solche logarithmischen Maße sind:

für Leistungsgrößen: Schalldämmmaß

$R=10\lg {\frac {I_{0}}{I}}\;{\mathrm {dB}}$

(durchgelassene Schallintensität , einfallende Schallintensität $I_{0}$ ),

für Feldgrößen: Spannungsdämpfungsmaß $A_{U}$

$A_{U}=20\lg \left|{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|\;{\mathrm {dB}}=\ln \left|{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|\;{\mathrm {Np}}$

(Eingangsspannung $U_{1}$ , Ausgangsspannung $U_{2}$ ).

Die Vorteile und Rechenregeln bei Pegeln gelten auch für Maße.

Einteilung der logarithmischen Größen

Die logarithmischen Größen sind Größen, die mit Hilfe von Logarithmusfunktionen definiert sind. Sie werden nach der Herkunft des Arguments des Logarithmus wie folgt unterteilt.

Logarithmische Verhältnisse

Logarithmische Verhältnisse sind durch das Verhältnis von zwei Leistungsgrößen oder zwei Feldgrößen definiert. Dazu zählen Pegel und Maße. Nur zu deren Kennzeichnung dürfen die Maßeinheiten Neper und Bel bzw. Dezibel verwendet werden.

Logarithmische Größen der Informationstheorie

Diese logarithmischen Größen sind dadurch definiert, dass deren Argument von vornherein als Zahl gegeben ist, wie sie beispielsweise in der Informationstheorie verwendet werden. Nur zu deren Kennzeichnung dürfen die Maßeinheiten Shannon, Hartley und nat verwendet werden.

Andere logarithmische Größen

Weitere speziell definierte logarithmische Größen sind z.B.

Extinktion
Frequenzmaßintervall mit den Einheiten Oktave (1 oct = lb 2 = 1) und Dekade (1 dec = lb 10 = 3,32)
pH-Wert

Siehe auch

Bezugswert (Akustik)

Literatur

Frank Gustrau: Hochfrequenztechnik: Grundlagen der mobilen Kommunikationstechnik. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2013, ISBN 978-3-446-43245-1.
Hermann Weidenfeller: Grundlagen der Kommunikationstechnik. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2002, ISBN 3-519-06265-8.

Basierend auf einem Artikel in:

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