Schwarzschild-Metrik

Metriken für schwarze Löcher
	statisch	rotierend $(J\neq 0)$
ungeladen	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen $(Q\neq 0)$	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik
Q: elektrische Ladung, J: Drehimpuls

Die Schwarzschild-Metrik (auch: Schwarzschild-Lösung) bezeichnet, speziell im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie, eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen, die das Gravitationsfeld einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel beschreibt.

Die äußere Schwarzschild-Lösung ist die Vakuumlösung der Feldgleichungen für den sphärisch-symmetrischen Fall. Sie wurde 1916 von dem deutschen Astronomen und Physiker Karl Schwarzschild gefunden (und unabhängig von Johannes Droste) und war die erste bekannte exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen.

Eine zweite, die innere Schwarzschild-Lösung, beschreibt die Metrik einer homogen gedachten Flüssigkeitskugel. Die Integration der Feldgleichungen reduziert sich auf die einfache lineare Summation eines Potentials (von r=0 bis r=R für einen Körper mit Radius oder ein als kugelförmig gleichverteilt gedachter Materie im Universum bis zu seiner Grenze ). Für die Zusammengehörigkeit beider Lösungen ist Voraussetzung, dass an der Grenzfläche die Metrik und ihre ersten Ableitungen übereinstimmen.

Das vollständige Schwarzschild-Modell besteht aus der inneren und der äußeren Lösung und beschreibt als einfachste Näherungslösung diverse astronomische Objekte wie Dunkelwolken oder Neutronensterne, lässt aber keine Spekulationen über Singularitäten wie Schwarze Löcher zu.

Äußere Lösung

Linienelement

Die einsteinschen Feldgleichungen

$R_{{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}g_{{\mu \nu }}R=\kappa T_{{\mu \nu }}$

koppeln den Energie-Impuls-Tensor $T_{{\mu \nu }}$ über die einsteinsche Gravitationskonstante $\kappa$ mit der Geometrie des Raumes beschrieben durch den metrischen Tensor $g_{\mu\nu}$ . Hierbei sind $R_{{\mu \nu }}$ der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar. Im Vakuum mit $T_{{\mu \nu }}=0$ und unter der Annahme sphärischer Symmetrie lassen sich die Feldgleichungen elementar integrieren. Für das Linienelement in Kugelkoordinaten ergibt sich

${\mathrm {d}}s^{2}=g_{{\mu \nu }}{\mathrm {d}}x^{{\mu }}{\mathrm {d}}x^{{\nu }}=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right){\mathrm {d}}t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}}}{\mathrm {d}}r^{2}+r^{2}{\mathrm {d}}\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\mathrm {d}}\phi ^{2}$ .

Im häufig verwendeten natürlichen Einheitensystem wird G=c=1 gesetzt, so dass das Linienelement

${\mathrm {d}}s^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\mathrm {d}}t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{\mathrm {d}}r^{2}+r^{2}{\mathrm {d}}\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\mathrm {d}}\phi ^{2}$

lautet. Durch die Ersetzung von durch $GM/c^{2}$ , mit als Gravitationskonstante und durch , schließt man wieder an das physikalische Maßsystem an. Die Ausdrücke vor den Koordinatendifferenzialen sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors $g_{\mu\nu}$ in Schwarzschild-Koordinaten. entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse.

Geometrische Deutung

Mathematischer Plot eines Schwarzschild-Wurmlochs.

Das Linienelement kann auf zwei Arten interpretiert werden:

1. Deutet man die radiale Koordinatenlinie als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der Riemannschen Geometrie herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet.

Man nennt $r_{{{\mathrm s}}}=2M$ den Schwarzschild-Radius und die dort befindliche Grenzfläche den Ereignishorizont, wobei letzterer Begriff auch häufig als Synonym für den Schwarzschild-Radius verwendet wird. An dieser Stelle besitzt der radiale Teil der Metrik eine Koordinatensingularität, ein Artefakt der Schwarzschild-Koordinaten. Durch Wahl geeigneter Koordinaten, wie der Kruskal-Szekeres-Koordinaten, kann dieses Problem beseitigt werden. Innerhalb des Schwarzschild-Radius vertauschen Raum- und Zeitkoordinate ihre Bedeutung, da das radiale Linienelement zeitartig und das vormals zeitartige Linienelement raumartig wird. Eine Bewegung durch den Raum wird eine Bewegung durch die Zeit und umgekehrt.

Ein Ereignishorizont existiert erst, wenn sich eine große Masse, wie etwa der Kern eines schweren Sterns, auf einen Bereich innerhalb ihres Schwarzschild-Radius zusammengezogen hat – Masse außerhalb eines Radius von ist irrelevant. Solch ein Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet, wobei dieses bei r=0 nun eine physikalische Singularität enthält.

Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten enthalten Lösungen für eine mögliche Verknüpfung zu einem weißen Loch, aus welchem Materie aus- aber nicht eindringen kann. Verbindungen dieser Art heißen Wurmlöcher und der Übergang von einem schwarzen- zu einem weißen Loch die Einstein-Rosen-Brücke. Das Schwarzschild-Wurmloch ist zwar eine mathematische Lösung der Einsteingleichungen, kann jedoch nicht existieren, da die Verbindung zu keinem Zeitpunkt geschaffen wird. Selbst im Falle einer offenen Verbindung kollabiert diese bei Annäherung an die Singularität. Stabil wäre sie nur unter Verwendung einer spekulativen, negativen Energiedichte.

2. Die andere Interpretation lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu verstehen. Die Krümmungen der Raumzeit bestimmen dabei die Gravitationswirkungen. Aus Gründen der besseren Verständlichkeit kann man sich die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen, um dann ihre Krümmung zu veranschaulichen. Für den Raumteil des Schwarzschild-Modells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offenlegen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der (liegenden) Parabel $R^{2}=8M(r-2M){,}$ wobei R die zusätzliche Dimension im Einbettungsraum bezeichnet, die Extradimension genannt wird. An r = 0 liegt die Leitlinie der Parabel und an r=2M ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel (R>0) um die Leitlinie durch den Winkel $\theta {,}$ erhält man unter Hinweglassung der letzten zwei Dimensionen eine Fläche 4. Ordnung, das Flammsche Paraboloid.

Äußere Schwarzschild-Lösung (Flamm'sches Paraboloid)

Die Koordinate ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. Innerhalb des Schwarzschild-Radius kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable hat den Wertebereich $\left[{2M,\infty }\right]{.}$ Das am Flammschen Paraboloid entstehende 'Loch' innerhalb $r>r_{s}{,}$ wenn es sich eben nicht um ein Schwarzes Loch handelt, wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann.

Die Extradimension wird aus Gründen der Nützlichkeit eingeführt und dient zur Veranschaulichung der geometrischen Verhältnisse. Ihr braucht keine physikalische Realität zugeordnet werden. Gekrümmte Räume können durch ihre inneren Eigenschaften ohne Zuhilfenahme eines Einbettungsraums beschrieben werden und unser Anschauungsvermögen lässt auch nicht mehr als vier Dimensionen zu.

Anwendungen

Obwohl die äußere Schwarzschild-Metrik nur näherungsweise das Feld eines stellaren Objekts beschreibt, so führt sie auf unser Sonnensystem angewendet zu befriedigenden Ergebnissen. Die mit ihrer Hilfe berechneten Werte für die Ablenkung des Lichtes an der Sonne und der Periheldrehung der inneren Planeten stimmen mit den Beobachtungen gut überein. Für die Physik innerhalb und außerhalb von Sternen verwendet man jedoch das vollständige Schwarzschild-Modell mit der inneren Schwarzschild-Lösung für den Bereich innerhalb des Sterns.

Innere Lösung

Linienelement

Unter den obigen Bedingungen ist das Linienelement in Kugelkoordinaten

$ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{{\mu }}dx^{{\nu }}=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{g}^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2}$

eine strenge Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen. ${\mathcal {R}}$ ist eine Konstante und $r_{g}$ der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.

Geometrische Deutung

Die von Einstein in die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden legen es nahe, auch das obige Linienelement geometrisch zu deuten. Durch die Substitution

$r={\mathcal {R}}\sin \,\eta ,\ r_{g}={\mathcal {R}}\sin \,\eta _{g},\ dt=2{\mathcal {R}}d\psi$

erhält man

$ds^{2}={\mathcal {R}}^{2}d\eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}\eta \,d\theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}\eta \,\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \,\eta _{g}-{\mathcal {R}}\cos \,\eta \right)^{2}d\psi ^{2}$

woraus ersichtlich ist, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius ${\mathcal {R}}$ und mit dem Öffnungswinkel $\eta _{g}$ ist.

Vollständige Schwarzschild-Lösung

Um zu einer Vorstellung zu kommen, wie sich die vollständige Schwarzschildsche Lösung mit Hilfe einer Extradimension in einem ebenen Raum einbetten lässt, beschränkt man sich zunächst auf die ersten zwei Terme der Linienelemente. Die äußere Lösung wird durch das Flammsche Paraboloid visualisiert. Diese Fläche wird an geeigneter Stelle $r=r_{g}$ abgeschnitten und von unten her eine Kugelhaube so angepasst, dass die Tangentialflächen beider Schwarzschild-Flächen zusammenfallen.

Vollständige Schwarzschildsche Lösung

Hinzunahme des dritten Terms in der Metrik bringt eine Wiederholung dieser Überlegung für eine weitere Teilfläche. Der Zeitteil der Metrik ist nur dann verständlich, wenn man den darin enthaltenen Faktor 3 auf eine Grundeigenschaft der Parabel als bestimmende Kurve der äußeren Lösung zurückführt. Verlängert man den Krümmungsvektor der Parabel bis zu ihrer Leitlinie, so haben die Abschnitte der entstehenden Strecke das Verhältnis 1:2. Da an der Grenzfläche der Abstand der Parabel zur Leitlinie ${\mathcal {R}}$ ist, hat der Krümmungsvektor dort die Länge $2{\mathcal {R}}$ und die ganze Strecke $3{\mathcal {R}}$ . Die Projektion in die Richtung der Extradimension ist $3{\mathcal {R}}\cos \eta _{g}$ . Der Radiusvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Kugelhaube hat die Projektion ${\mathcal {R}}\cos \eta$ . Die beiden Stecken werden um den imaginären Winkel $i\psi$ rotiert. Es entstehen zwei konzentrische imaginäre (offene) Kreise, deren pseudoreelles Abbild Hyperbeln sind. (Imaginäre Kreise werden auch Hyperbeln konstanter Krümmung genannt.) Der Abstand der Kreise entspricht dem Klammerausdruck in der obigen Metrik. Beim Fortschreiten auf den Kreisen um $di\psi$ überstreicht diese Strecke eine Fläche, die proportional zur vergangenen Zeit ist.

Querschnitt durch die Kugelhaube und das Flamm'sche Paraboloid

Erhaltungssatz

Den Energie-Impulstensor der Materie berechnet man aus den Feldgleichungen. Er hat die Form

$T_{{mn}}={\begin{pmatrix}-p&&&\\&-p&&\\&&-p&\\&&&\mu _{0}\end{pmatrix}}$ .

Der hydrostatische Druck

$p={1 \over \kappa }{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{g}}{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }},\quad \kappa =8\pi G/c^{2}$ mit der Gravitationskonstante ,

nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel $\eta _{g}$ der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können auch keine schwarzen Löcher beschrieben werden.

Die Energiedichte

$\mu _{0}={\frac {1}{\kappa }}{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}$

entspricht bis auf einen Faktor $c^{2}$ der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Druck und Energiedichte sind kovariant erhalten. In

$T_{{m\ ||n}}^{{\ n}}=0$

bedeutet der Doppelstrich die kovariante Ableitung in der Vierbeindarstellung. Aus dem einfachen Aufbau von $T_{{mn}}$ erhält man

$p_{{||m}}=\left(p+\mu _{0}\right)E_{m},\quad {\dot p}=0,\quad {\dot \mu }_{0}=0$ .

Die Druckzunahme nach innen ist durch die Schwerewirkung des Gravitationsfeldes

$E_{m}=\left\{-{\frac {1}{{\mathcal {R}}}}{\frac {\sin \eta }{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }},0,0,0\right\}$

bestimmt. Druck und Energiedichte sind zeitlich konstant. Der Energie-Impulstensor ist geometrischer Natur. Die oben angeführten Ausdrücke für den Druck und die Energiedichte leiten sich aus den verallgemeinerten zweiten Fundamentalformen der Flächentheorie her, die Einstein'schen Feldgleichungen aus den Gaußschen Gleichungen und der Erhaltungssatz aus den Mainardi-Codazzi-Gleichungen. Die innere Schwarzschild-Lösung kann als erster und sehr einfacher Versuch der Geometrisierung der Materie angesehen werden.

Verallgemeinerungen zu anderen Metriken

Unter Hinzunahme zusätzlicher physikalischer Phänomene wie elektrischer Ladung, Drehimpuls oder Extradimensionen gibt es wohlbekannte exakte Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen. Dies sind im Einzelnen die Kerr-Metrik bei Hinzunahme von Drehimpuls, die eine Vakuumlösung rotierender, aber ungeladener schwarzer Löcher darstellen.

Betrachtet man hingegen weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), aber dafür elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält man als exakte Lösung die Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik ist eine exakte Lösung für sowohl rotierende als auch elektrisch geladene schwarze Löcher in vier Dimensionen.

Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt D=4+n Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen statischen Problems dar.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de