Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten besagt, wie die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ eines Objekts in einem bestimmten Bezugssystem zu bestimmen ist, wenn das Objekt sich mit einer Geschwindigkeit ${\vec {u}}'$ gegenüber einem zweiten Bezugssystem bewegt, das sich selber gegenüber dem ersten mit einer Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegt. Sie können aus der Lorentztransformation für gegeneinander bewegte Inertialsysteme hergeleitet werden.

In der klassischen Mechanik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert ( ${\vec {u}}={\vec {u}}'+{\vec {v}}$ ) und haben daher keine obere Schranke. Da aber nach der speziellen Relativitätstheorie die Geschwindigkeit eines Objekts die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreiten kann, können die klassischen Gleichungen nur eine Näherung sein. Unterschiede machen sich bemerkbar, wenn eine oder beide der zu addierenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist.

Das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten ist durch Messungen bestätigt worden.

Definition

Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindigkeiten und
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit (Erläuterungen s. Artikeltext).
Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindigkeit

ebenfalls normiert auf
(Abstufung geändert für ${\tfrac {u_{x}}{c}}>0{,}9$ ).
Je größer die beiden Ausgangsgeschwindigkeiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab:
auch von der resultierenden Geschwindigkeit kann die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden.

Ein Beobachter $\mathcal{B}^\prime$ bewege sich gegenüber dem Beobachter ${\mathcal {B}}$ mit der Geschwindigkeit in Richtung der -Achse. Für den Beobachter $\mathcal{B}^\prime$ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' $= (u^\prime_x, u^\prime_y, u^\prime_z) \, .$ Dann hat dieser Körper für den Beobachter ${\mathcal {B}}$ die Geschwindigkeit u mit den Komponenten

$u_{x}={\dfrac {u_{x}'+v}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}\qquad \qquad \Leftrightarrow {\dfrac {u_{x}}{c}}={\dfrac {{\dfrac {u_{x}'}{c}}+{\dfrac {v}{c}}}{1+{\dfrac {u_{x}'}{c}}\cdot {\dfrac {v}{c}}}}$

$u_{y}={\dfrac {u_{y}'{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{y}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}$

$u_{z}={\dfrac {u_{z}'{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{z}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}$

mit

der Lichtgeschwindigkeit und
dem Lorentzfaktor (der stets größer gleich 1 ist)

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ ergibt sich aus der einfachen Addition der Geschwindigkeiten ( ${\vec u}'+{\vec v}$ ) mit folgenden Modifikationen:

Die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ ist um den Faktor $1+{\tfrac {{\vec u}'\cdot {\vec v}}{c^{2}}}$ kleiner.
Die Komponenten der Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ senkrecht zu ${\vec {v}}$ sind zusätzlich um den Faktor $1/\gamma$ kleiner.

Interpretation

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

$v\ll c\Leftrightarrow {\frac {v}{c}}\ll 1\,,$

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

$\Rightarrow 1+{\frac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\approx 1\,,\qquad {\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\gamma }}\approx 1\,,$

und es ergibt sich in guter Näherung die übliche nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

${\begin{aligned}\Rightarrow u_{x}&\approx u_{x}'+v\\u_{y}&\approx u_{y}'\\u_{z}&\approx u_{z}'\,.\end{aligned}}$

Beispiel: in einem mit $v=200\ \mathrm {km/h}$ fahrenden Zug $\mathcal{B}^\prime$ läuft eine Person mit $u_{x}^{\prime }=5\ \mathrm {km/h}$ relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter ${\mathcal {B}}$ gemessene Geschwindigkeit u_x der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen $u_{x}^{\prime }+v=205\ \mathrm {km/h}$ . Zum Vergleich: der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde – was bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km sicher vernachlässigbar ist – ganz abgesehen von dem von Laien häufig übersehenen Gesetz der gültigen Ziffern.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel, vgl. die folgenden Beispiele.

Folgerungen

Als Folge des Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

1. Beispiel

Es seien

$v=0{,}75c\quad$ und $\quad u_{x}'=0{,}75c\,.$

Dann ist

$u_x = \frac{0{,}75c+0{,}75c}{1 + 0{,}75 \cdot 0{,}75} = \frac{1{,}5c}{1{,}5625} = 0{,}96 c < c$

und nicht etwa 1,5c.

2. Beispiel

Ist die Geschwindigkeit u' für den Beobachter $\mathcal{B}^\prime$ gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter $\mathcal{B}.$

Sind zum Beispiel

$u_{x}'=0\,,\quad u_{y}'=c\,,\quad u_{z}'=0\,.$

Dann ergeben sich

$u_{x}=v\,,\quad u_{y}=c/\gamma \,,\quad u_{z}=0\,.$

Damit folgt

${\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}={\sqrt {v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}={\sqrt {c^{2}}}=c\,.$

Herleitung

Um das Formelbild einfach zu halten, werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten angegeben. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt c = 1.

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von durch -)

$t = \frac{t' + v\, x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad x =\frac{x' + v\,t'}{\sqrt{1 - v^2}} \ ,\quad y = y'\ ,\quad z = z'$

folgt für die Differentiale, da die Transformation linear ist,

$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}t' + v\,\mathrm{d}x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\sqrt{1 -v^2}}\ ,\quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}y'\ ,\quad \mathrm{d}z = \mathrm{d}z'\,.$

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter ${\mathcal {B}}$ ermittelt,

$u_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'} + v} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_x' + v}{1 + v\, u_x'}\ ,$

$u_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_y'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ ,$

$u_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}z'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_z'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ .$

Aufgelöst nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen:

$u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1-v\,u_{x}}}\ ,\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-v\,u_{x}}}\ ,\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-v\,u_{x}}}\ .$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de