Hyperbelnavigation

Wie orientiert sich aber der Flugzeugführer über See, wo es nicht möglich ist, in den notwendigen Abständen ungerichtete Funkfeuer, Vierkurs-Funkfeuer oder UKW-Drehfunkfeuer (VOR) aufzustellen?
Wie stellt er seinen Standort fest, wenn es infolge der begrenzten Reichweite der Entfernungsmessanlagen nicht möglich ist, Abstände von Boden­stationen zu ermitteln?
Für diesen Zweck wurden die Hyperbel-Navigationsverfahren ge­schaffen. Ein solches Verfahren arbeitet mit zwei oder mehr, jeweils aus zwei Sendern bestehenden Sendergruppen. Beide Sender einer Gruppe strahlen gleichzeitig Impulse auf einer bestimmten Wellenlänge aus. Diese Impulse beider Sender werden an Bord des Flugzeuges aufge­fangen. Wenn die Abstände des Flugzeuges von den beiden Sendern ver­schieden sind, treffen auch die von diesen abgestrahlten Impulse zu verschiedenen Zeiten ein, da die Ausbreitungsgeschwindigkeiten gleich sind und beide Impulsreihen verschieden große Strecken zu durchlaufen haben. Durch eine bestimmte gemessene Zeitdifferenz wird also die Differenz der Entfernung des Flugzeuges von den beteiligten Sendern angegeben. Aus der Geometrie ist dem Leser vielleicht bekannt, daß alle Punkte, die zu zwei Festpunkten die gleiche Abstandsdifferenz haben, auf einer Hyperbel liegen. Eine bestimmte Zeitdifferenz legt also bei dem beschriebenen Verfahren eine ganz bestimmte Hyperbel fest und ergibt somit eine Standlinie.
Durch die Messung der Laufzeitmessung der Impulse zweier Sendergruppen können also zwei Standlinien gewonnen werden, deren Kreuzungspunkt den Standort des Flugzeuges ergibt. Als Hilfsmittel dient dabei eine Flugkarte, auf der die den verschiedenen Laufzeitmessungen entsprechenden Hyperbeln der vorhandenen Sendergruppen auf gedruckt sind. Die Hyperbeln sind numeriert und können durch Benutzung einer Hyperbeltabelle identifiziert werden. Manche Navigationssysteme, die auf der Grundlage der Hyperbel-Verfahren arbeiten, erleichtern diese Arbeit dadurch, daß auf besonderen Anzeigeinstrumenten direkt die Nummer der ermittelten Hyperbel erscheint.

Die Reichweite eines solchen Navigationsverfahrens beträgt am Tage bis zu 1.000 km, bei Nacht bis zu 2.500 km, was durch die bei Tag und Nacht unterschiedlichen Ausbreitungsbedingungen für die verwendeten Radiowellen bedingt ist.
Der Standort kann mit diesen Verfahren unter ungünstigsten Umständen (am Rande des Empfangsbereiches) auf 15 km genau bestimmt werden; dieser Fehler schrumpft in der Mitte des Bereiches bis auf wenige 100 m zusammen!
Hyperbelverfahren werden von der Luftfahrt und der Schiffahrt ge­meinsam benutzt. Bekannte Systeme sind GEE, LORAN und DECCA, die sich voneinander durch die Zahl und Anordnung der Sendergruppen, durch die verwendeten Wellenlängen und die Art und Ausführung der Bordausrüstung unterscheiden. Eine Besonderheit des DECCA-Systems ist der »Flugwegschreiber", bei dem mit Hilfe fortlaufender Hyperbelortung der zurückgelegte Flugweg automatisch aufgezeichnet wird.

Definition einer Hyperbel als Ortskurve

Hyperbel: Definition und Asymptoten

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene , für die die absolute Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten und , konstant gleich ist:

.

Der Mittelpunkt der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Die beiden Hyperbelpunkte auf der Hauptachse sind die Scheitel und haben den Abstand vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte, dimensionslose numerische Exzentrizität ist .

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die a) steiler ist als die Mantellinien des Kegels und b) die Kegelspitze nicht enthält, tatsächlich eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. a. Hyperbel als Kegelschnitt).

Bemerkung: Die Gleichung lässt sich auch so interpretieren:

Ist der Kreis um mit Radius , so hat vom Kreis denselben Abstand wie vom Brennpunkt :

.

Man nennt einen Leitkreis der Hyperbel.