Föppl-Klammer

Die Föppl-Klammer ist eine von August Föppl eingeführte, vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik. Sie wird auch Föppl-Symbol genannt.

Definition

Die Föppl-Klammer ist keine mathematische Schreibweise, sie wurde von Ingenieuren für den Gebrauch in der Technischen Mechanik übernommen.

$\langle x-a\rangle ^{n}={\begin{cases}0&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~x<a\\(x-a)^{n}&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~x>a\end{cases}}$

Dieser Ausdruck bedeutet, dass die Klammer für x-Werte kleiner als 0 ist, und für Werte größer als den Wert einer normalen Klammer $(x-a)^{n}$ annimmt. Dabei ist zu beachten, dass die Föppl-Klammer für x=a nicht definiert ist. Für Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen (z.B. das Gleichgewicht am differentiellen Element) nötig; jedoch sind derartige Überlegungen in den meisten Fällen nicht erforderlich.

Insbesondere beschreibt:

$\langle x-a\rangle ^{0}={\begin{cases}0&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~x<a\\1&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~x>a\end{cases}}$

Somit lassen sich Sprünge, z.B. in einem Kraftverlauf, durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft (siehe Beispiel) modellieren.

Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert:

${\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}}\langle x-a\rangle ^{n}=n\langle x-a\rangle ^{{n-1}}$

$\int \langle x-a\rangle ^{n}{\mathrm d}x={\frac {1}{n+1}}\langle x-a\rangle ^{{n+1}}+C$

Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden.

Verwendung

Die Föppl-Klammer erlaubt es die Kraft- und Momentenverläufe an Biegebalken in kurzer Form darzustellen. Ohne diese Darstellung wären für jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen.

Die Exponenten einer Föppl-Klammer sind entsprechend dem Kraft- oder Momentenverlauf zu wählen. Beispiele: Die Flächenbelastung q(x) ist konstant: n=0; eine Kraft oder ein Moment greifen an: n=0; die Flächenbelastung q(x) ist linear: n=1; die Flächenbelastung q(x) ist quadratisch: n=2; die Flächenbelastung q(x) ist kubisch: n=3 usw.

Bei der Berechnung der Querkraft Q(x) durch Integration z.B. bei einer linearen Flächenbelastung q(x) mit n=1 ergibt sich für Q(x) der Exponent n=2 und durch weitere Integration für das Biegemoment M(x) der Exponent n=3.

Beispiel

Ein Balken der Länge l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert. Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet.

Es gilt für den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:

${\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}x}}=-q\qquad {\frac {{\mathrm d}M}{{\mathrm d}x}}=Q$

Der Querkraftverlauf (in z-Richtung) folgt der Formel:

mit Föppl-Klammer:

$Q(x)=-F_{{Az}}+F\langle x-f\rangle ^{0}$

Erklärung: Der Querkraftverlauf entspricht links von der Stelle f der negativen Auflagerkraft F_Az, da die Föppl Klammer bei x < f als Null definiert ist. Rechts von der Stelle f nimmt der Term den Wert 1 an, was dazu führt, dass die Last F in den Querkraftverlauf durch einen Sprung mit einfließt.

ohne Föppl-Klammer:

$Q(x)={\begin{cases}-F_{{Az}}&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~0<x<f\\-F_{{Az}}+F&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~f<x<l\end{cases}}$

Der Biegemomentverlauf (um die y-Achse) folgt der Formel:

mit Föppl-Klammer:

$M_{y}(x)=-F_{{Az}}x+F\langle x-f\rangle ^{1}+M\langle x-m\rangle ^{0}$

ohne Föppl-Klammer:

$M(x)={\begin{cases}-F_{{Az}}x&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~0<x<f\\-F_{{Az}}x+F(x-f)&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~f<x<m\\-F_{{Az}}x+F(x-f)+M&{\mathrm {f{\ddot u}r}}~m<x<l\end{cases}}$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de