Hauptstreckung

Die Hauptstreckungen $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptwerte der einander mathematisch ähnlichen rechten und linken Deformationstensors U bzw. v. Man erhält die Hauptstreckungen aus der Hauptachsentransformation des Deformationstensors durch Lösung des charakteristischen Polynoms.

Im Hauptachsensystem des Deformationstensors geben die Streckungen $\lambda$ die aktuelle Länge eines Linienelements bezogen auf seine Ausgangslänge l_0 wieder und stehen daher mit der Dehnung $\varepsilon$ im Zusammenhang:

$\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}={\frac {l_{0}+\Delta l}{l_{0}}}=1+\varepsilon$ .

Mithilfe dieser Streckungen lassen sich ebenfalls die Deformationsinvarianten in der Festkörpermechanik (Kontinuumsmechanik der Festkörper) recht einfach darstellen.

Veranschaulichung der Polarzerlegung. Hier ist der linke Strecktensor – anders als im Text – groß geschrieben.

Denn der rechte und linke Deformationstensor ergeben sich aus der Polarzerlegung ^[1]

$\mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {v\cdot R}$

des Deformationsgradienten F, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor, der eine Drehung darstellt und die Eigenschaften R^T · R = R · R^T = 1 und det(R) = +1 besitzt (1 ist der Einheitstensor). Der Deformationsgradient transformiert Linienelemente $\mathrm{d}\vec X$ im undeformierten Körper in die Linienelemente $\mathrm{d}\vec x$ des deformierten Körpers:

$\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}=\mathrm {d} {\vec {x}}.$

Damit lautet die Streckung eines Linienelements in der Lagrange’schen Betrachtungsweise:

${\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {R\cdot U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}},$

denn die Drehung R lässt die Norm unberührt. Sei $\mathrm{d}\vec X$ Eigenvektor mit Eigenwert λ des positiv definiten rechten Strecktensors U. Dann berechnet sich

${\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathbf {U} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\lambda \mathrm {d} {\vec {X}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}=\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}.$

Für den linken Strecktensor v bestimmt sich in der Euler’schen Betrachtungsweise:

$\mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {R^{\top }\cdot v^{\rm {-1}}} \quad \rightarrow \quad {\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {R^{\top }\cdot v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}},$

wieder weil die Rotation die Norm beibehält. Sei $\mathrm{d}\vec x$ Eigenvektor mit Eigenwert λ des ebenfalls positiv definiten linken Strecktensors v. Dann zeigt sich

$\mathbf {v} \cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=\lambda \mathrm {d} {\vec {x}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {d} {\vec {x}}=\lambda \mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}={\frac {1}{\lambda }}\mathrm {d} {\vec {x}}$

und weiter

${\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathrm {d} {\vec {X}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|\mathbf {v} ^{-1}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}|}}={\frac {|\mathrm {d} {\vec {x}}|}{|{\frac {1}{\lambda }}\mathrm {d} {\vec {x}}|}}=\lambda ={\frac {l}{l_{0}}}.$

Die Hauptstreckungen in der Lagrange’schen- und Euler’schen Betrachtungsweise sind gleich aber die Richtungen, in denen die Hauptstreckungen auftreten, sind gemäß

$\mathbf {U} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {R\cdot U} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot R} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot (R} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R} \cdot {\vec {v}})$

gegeneinander verdreht, so wie es die Kreuze im Bild auch nahelegen.

Anmerkungen

↑ Die Groß- und Kleinschreibung der Variablen ist zu beachten. Variablen in Großbuchstaben beziehen sich auf den Referenzzustand und solche in Kleinbuchstaben auf den aktuellen Zustand, der gegenüber dem Referenzzustand stark deformiert und verdreht sein kann.

Literatur

H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de