Lemma von Bézout

Das Lemma von Bézout (nach Étienne Bézout (1730–1783)) in der Zahlentheorie besagt, dass sich der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen und als Linearkombination von und mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt:

Aussage und formale Darstellung

Formal ausgedrückt gilt:

$\forall a,b\in \mathbb {Z} \ \exists s,t\in \mathbb {Z} :\operatorname {ggT} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b$

Sind und teilerfremd, dann existieren $s,t\in \mathbb {Z}$ , sodass

$1 = s \cdot a + t \cdot b$

gilt.

Bemerkung: Hier gilt auch eine Art Umkehrung: Gibt es $s,t\in \mathbb {Z}$ mit $sa+tb=1$ , dann ist $\operatorname{ggT}(a,b) = 1$ . ^[1]

Die Koeffizienten und können mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus effizient berechnet werden.

Das Lemma lässt sich auf mehr als zwei ganze Zahlen verallgemeinern: Sind $a_1, \dotsc, a_n$ ganze Zahlen, dann existieren ganzzahlige Koeffizienten $s_1, \dotsc, s_n$ mit

$s_{1}a_{1}+\dotsb +s_{n}a_{n}=\operatorname {ggT} (a_{1},\dotsc ,a_{n})$ .

Allgemeiner gilt das Lemma von Bézout in jedem Hauptidealring, sogar in einem nicht-kommutativen; für die genauen Aussagen siehe dort.

Die Frage, welche Zahlen sich sogar mit natürlichen Zahlen als Koeffizienten darstellen lassen, ist Gegenstand des Münzproblems.

Beweis

Der Beweis des Lemmas basiert auf der Möglichkeit der Division mit Rest. Somit lässt er sich leicht auf euklidische Ringe übertragen.

Für a=b=0 kann man $s=t=0$ setzen, also nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $(a,b)\not =(0,0)$ . Unter allen Zahlen $x = s \cdot a + t \cdot b$ mit $s,t\in \mathbb {Z}$ gibt es sicher auch solche, die positiv und $\neq 0$ sind. Sei $d = s \cdot a + t \cdot b$ die kleinste Zahl unter diesen. Da $\operatorname{ggT}(a,b)$ sowohl als auch teilt, teilt $\operatorname{ggT}(a,b)$ auch .

Wir zeigen nun, dass auch ein Teiler von und ist. Die Division mit Rest liefert uns eine Darstellung der Form $q \cdot d + r$ , wobei $0 \leq r < d$ . Setzt man für die Darstellung $s \cdot a + t \cdot b$ ein und löst die Gleichung nach auf, so erhält man $r = (1 - q \cdot s) \cdot a + (- q \cdot t) \cdot b$ . Wegen der Minimalität von muss r = 0 sein, also ist ein Teiler von . Entsprechend gilt auch, dass ein Teiler von ist, und somit gilt $d \leq \operatorname{ggT}(a,b)$ . Vorher hatten wir schon gesehen, dass $\operatorname{ggT}(a,b)$ ein Teiler von ist. Also gilt $d = \operatorname{ggT}(a,b)$ .

Hauptideale

Verwendet man den Begriff des Ideals aus der Ringtheorie, so gilt grundsätzlich, dass die Hauptideale a R und b R in dem Hauptideal $\operatorname{ggT}(a,b)\;R$ enthalten sind. Also ist auch das Ideal a R + b R in $\operatorname{ggT}(a,b)\;R$ enthalten. Man kann das Lemma von Bézout auch so formulieren, dass für den Ring $R=\Z$ (oder allgemein für euklidische Ringe) gilt

, wenn $c = \operatorname{ggT}(a,b)$

Hauptidealringe sind Ringe, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dort gibt es zu Elementen und des Ringes immer ein Element , sodass das Ideal a R + b R das Hauptideal c R ist. ist dann einerseits ein gemeinsamer Teiler von und , und andererseits eine Linearkombination von und . In Hauptidealringen gilt daher gewissermaßen definitionsgemäß das Lemma von Bézout, wenn man das Element als den $\operatorname {ggT}$ von und ansieht.

Folgerungen

Das Lemma von Bézout ist für die Mathematik und besonders für die Zahlentheorie von elementarer Bedeutung. So lässt sich damit z.B. das Lemma von Euklid ableiten, welches die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung zur Folge hat. Der chinesische Restsatz ist eine weitere Folgerung aus dem Lemma von Bézout. Für lineare diophantische Gleichungen ergibt das Lemma von Bézout ein Kriterium für deren Lösbarkeit.

Anmerkung

↑ Denn ist $d\in \mathbb {Z}$ ein gemeinsamer Teiler von und , also $a=a^{\prime }d$ und $b=b^{\prime }d$ , dann ist $1=sa^{\prime }d+tb^{\prime }d=(sa^{\prime }+tb^{\prime })\,d=1$ , also ein Teiler von 1.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de