Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage

Das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie, der wie alle Null-Eins-Gesetze Aussagen darüber trifft, wann ein Ereignis fast sicher (also mit Wahrscheinlichkeit 1) eintritt oder fast unmöglich ist (also Wahrscheinlichkeit 0 besitzt).

Aussage

Gegeben sei eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen $(X_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ und ${\mathcal E}$ die austauschbare σ-Algebra der Folge. Dann ist ${\mathcal E}$ P-trivial, es ist also für jedes Ereignis $E \in \mathcal E$ entweder P(E)=0 oder P(E)=1 .

Herleitung

Die Herleitung basiert auf dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz. Dieses besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen immer P-trivial ist. Da aber unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen immer auch austauschbare Familie von Zufallsvariablen sind gilt dann auch für jedes austauschbare Ereignis $E \in \mathcal E$ , dass ein terminales Ereignis $B \in \mathcal T$ existiert, so dass $P(E\,\triangle \,B)=0$ gibt. Daraus folgt die Aussage.

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.

Basierend auf einem Artikel in:

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