Alpha-stabile Verteilungen

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

$X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und eine Folge $(c_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ ,

so nennt man stabil verteilt, wobei $\sim$ als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_{n}=n^{{1/\alpha }},\alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $\alpha$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $\alpha$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $\alpha =2$ , denn bekanntlich gilt

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{{1/2}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ . Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter $\alpha =2$ .

Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {{\rm {Cauchy}}}(0,a)\Rightarrow \sum _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim n\,{{\rm {Cauchy}}}(0,a)$

sie ist also stabil mit Formparameter $\alpha =1$ .

Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha ={\frac {1}{2}}$ .

Eigenschaften

α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters

Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist für $\alpha \neq 1$ gegeben durch

$\psi _{{\alpha ,\beta }}(u)=\exp \left(-|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname{sgn}(u)\right)\right)$ .

Der Parameter $\beta \in [-1,1]$ ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.

Für $\alpha =1$ ergibt sich

$\psi _{{\alpha ,\beta }}(u)=\exp \left(-|u|\left(1+i\beta {\frac {2}{\pi }}\log(|u|)\operatorname{sgn}(u)\right)\right)$ .

Endliche Varianz existiert nur für $\alpha =2$ . Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz.
Für $1<\alpha \leq 2$ hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für $\alpha \leq 1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Literatur

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Basierend auf einem Artikel in:

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