Proximum

Das Proximum ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt innerhalb einer nicht enthaltenden Menge ist derjenige Punkt aus , der zu den geringsten Abstand hat.

Definition

Sei (X,d) ein metrischer Raum, $Y\subset X$ eine Teilmenge und $x\in X$ beliebig. Der Abstand des Elements zur Teilmenge wird mittels der Distanzfunktion $\operatorname {dist}$ definiert durch

$\operatorname {dist} (x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)\,.$

Existiert nun ein $p\in Y$ mit:

$d(x,p)=\operatorname {dist} (x,Y)\,$

so nennt man Proximum oder Bestapproximation zu in .

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum $(X,\lVert \cdot \rVert )$ zu tun. Ein Proximum zu $x\in X$ in $Y\subset X$ ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

$\lVert x-p\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x-y\rVert$

Zur Existenz eines Proximums

Sei $(X,d)\,$ ein metrischer Raum. $A\subset X$ sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in .

Sei $(X,\lVert \cdot \rVert )$ ein normierter Raum. $V\subset X$ sei ein endlichdimensionaler Teilraum und $Y\subset V$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in .

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a,b],U\subset C[a,b]$ ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für aus eindeutig bestimmt.

Sei ein endlichdimensionaler Unterraum von C[a, b] . Ist für jedes $f\in C[a,b]$ das Proximum aus eindeutig bestimmt, dann ist ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a,b],U\subset C[a,b]$ ein -dimensionales Tschebyschow-System. $u_{0}\in U$ ist genau dann ein Proximum für aus , wenn es n+1 Stellen $x_{i}$ mit $a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}\leq b$ gibt, so dass

$|f(x_{i})-u_{0}(x_{i})|=\max _{x\in [a,\,b]}|f(x)-u_{0}(x)|$ , $i=0,\ldots ,n$ (Extremalpunkt)
$\operatorname {sign} \left(f(x_{i-1})-u_{0}(x_{i-1})\right)=-\operatorname {sign} (f(x_{i})-u_{0}(x_{i}))$ , $i=1,\ldots, n$ (alternierend)

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Proximum im Hilbertraum

Ist ein Hilbertraum und $Y\subset X$ eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem $x\in X$ genau ein $p\in Y$ mit

$\lVert x-p\rVert \leq \lVert x-y\rVert \,\,\forall \,y\in Y$ .

Ist ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum als Orthogonalprojektion von auf .

Literatur

Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5.

Basierend auf einem Artikel in:

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