Helmholtz-Theorem

Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis, (nach Hermann von Helmholtz) besagt, dass für gewisse Gebiete $\Omega\subset\R^n$ der $L^{p}$ -Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

Definitionen

Für ein Gebiet $\Omega\subset\R^n$ wird $L_{\sigma }^{p}(\Omega )=\overline {\{u\in C_{c}^{\infty }(\Omega ):\nabla \cdot u=0\}}^{{\|\cdot \|_{p}}}$ der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei $C_c^\infty(\Omega)$ der Raum der Testfunktionen ist und $\|\cdot\|_p$ die -Norm bezeichnet. Die Zerlegung

$L^{p}(\Omega )=L_{\sigma }^{p}(\Omega )\oplus G_{p}$

mit $G_{p}=\{u=\nabla \phi :\phi \in L_{{\text{loc}}}^{1}(\Omega )\ {\text{und}}\ \nabla \phi \in L^{p}(\Omega )\}$ wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion mit $PL^{p}(\Omega )=L_{\sigma }^{p}(\Omega )$ , die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist $\Omega$ der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit $C^{2}$ -Rand oder ein Außenraum mit $C^{2}$ -Rand, so existiert die Zerlegung. Für p=2 existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit $C^{2}$ -Rand.

Hat $\Omega$ einen $C^{1}$ -Rand, gilt $L_{\sigma }^{p}(\Omega )=\{u\in L^{p}(\Omega ):\operatorname {div}u=0\ {\text{und}}\ u\cdot \nu =0\ {\text{auf}}\ \partial \Omega \}$ , wobei $\nu$ die äußere Normale ist.

Mathematische Anwendung

In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung

$u_{t}-P\Delta u=f$

für $u,f\in L_{\sigma }^{p}(\Omega )$ . Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich und , gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator $P\Delta$ wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische Betrachtung

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld ${\mathbf {f}}({\mathbf {r}})$ als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Feldes ${\mathbf {a}}({\mathbf {r}})$ und eines divergenzfreien (quellenfreien) Feldes ${\mathbf {b}}({\mathbf {r}})$ darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential $\phi ({\mathbf {r}})$ darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential ${\mathbf {A}}({\mathbf {r}})$ .

${\mathbf {a}}({\mathbf {r}})=-\operatorname {grad}(\phi ({\mathbf {r}}))$

und

${\mathbf {b}}({\mathbf {r}})=\operatorname {rot}({\mathbf {A}}({\mathbf {r}}))$

dann folgt

$\operatorname {rot}({\mathbf {a}}({\mathbf {r}}))=-\operatorname {rot}(\operatorname {grad}(\phi ({\mathbf {r}})))\equiv 0$

und

$\operatorname {div}({\mathbf {b}}({\mathbf {r}}))=\operatorname {div}(\operatorname {rot}({\mathbf {A}}({\mathbf {r}})))\equiv 0$

Es ist also möglich das Vektorfeld ${\mathbf {f}}({\mathbf {r}})$ durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale $\phi ({\mathbf {r}})$ und ${\mathbf {A}}({\mathbf {r}})$ auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

${\mathbf {f}}({\mathbf {r}})={\mathbf {a}}({\mathbf {r}})+{\mathbf {b}}({\mathbf {r}})=-\operatorname {grad}(\phi ({\mathbf {r}}))+\operatorname {rot}({\mathbf {A}}({\mathbf {r}}))$

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld ${\mathbf {f}}({\mathbf {r}})$ gewinnen:

$\phi ({\mathbf {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\operatorname {div}({\mathbf {f}}({\mathbf {r}}'))}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}{\mathrm {d}}^{3}r'$

${\mathbf {A}}({\mathbf {r}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\operatorname {rot}({\mathbf {f}}({\mathbf {r}}'))}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}{\mathrm {d}}^{3}r'$

Wobei das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds ${\mathbf {f}}({\mathbf {r}}),$ dass es für $r\to \infty$ schneller als ${\frac {1}{r}}$ gegen $0$ geht, also $\lim _{{r\to \infty }}{\mathbf {f}}({\mathbf {r}})r=0$ . Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

Redundanz

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von $\Omega$ durch Komponenten zu beschreiben ist, sind für das skalare und das Vektorpotential zusammen n+1 Komponenten nötig. Diese Redundanz lässt sich für n=3 beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de