Pachner-Zug

Dieser Pachner-Zug ersetzt zwei Simplizes in $\partial\Delta^4$ durch die anderen drei.

Der Pachner-Zug ist ein Begriff aus der kombinatorischen Topologie, also dem Studium von Simplizialkomplexen und triangulierten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Mathematik.

Ein Pachner-Zug ersetzt einige Simplizes in einer triangulierten -Mannigfaltigkeit durch andere Simplizes und zwar so, dass die Vereinigung aus den ersetzten und den ersetzenden Simplizes genau den Rand eines (n+1) -Simplex bildet.

Die Bedeutung der Pachner-Züge ergibt sich daraus, dass je zwei unterschiedliche Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. Dies wurde 1991 von Pachner bewiesen.

Definition

Im Folgenden bezeichne $\Delta^{n+1}$ den (n+1) -dimensionalen Standardsimplex und $\partial\Delta^{n+1}$ seinen Rand mit der Triangulierung durch Seitenflächen.

Gegeben sei eine -dimensionale triangulierte Mannigfaltigkeit . Ein Pachner-Zug besteht in der Auswahl eines zu einem -dimensionalen Unterkomplex $C^\prime\subset \partial\Delta^{n+1}$ isomorphen Unterkomplexes $C\subset M$ und dem Bilden der triangulierten Mannigfaltigkeit

$(M\setminus C)\cup_\phi(\partial\Delta^{n+1}\setminus C^\prime)$ ,

wobei die Verklebeabbildung $\phi\colon \partial C\to\partial C^\prime$ die Einschränkung des gegebenen simplizialen Isomorphismus $C\to C^\prime$ ist.

Man erhält mittels dieser Konstruktion wieder dieselbe Mannigfaltigkeit , aber mit einer anderen als der ursprünglichen Triangulierung.

Beispiele

Im Fall -dimensionaler Mannigfaltigkeiten spricht man von -- und --Pachner-Zügen. Ein --Pachner-Zug ersetzt einen -dimensionalen Simplex durch vier andere (oder umgekehrt), ein --Pachner-Zug ersetzt zwei -dimensionale Simplizes durch drei andere (oder umgekehrt).

Satz von Pachner

Satz von Pachner: Wenn zwei triangulierte PL-Mannigfaltigkeiten (beliebiger Dimension) PL-homöomorph sind, dann gibt es eine Folge von Pachner-Zügen, die die eine Triangulierung in die andere überführt.

Insbesondere gilt für Flächen und -dimensionale Mannigfaltigkeiten, dass je zwei Triangulierungen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen lassen. (Dies ergibt sich aus der Eindeutigkeit der PL-Struktur für Mannigfaltigkeiten der Dimensionen und .)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de