Basis (Topologie)

Eine Basis ist in der mengentheoretischen Topologie, einer Grundlagendisziplin der Mathematik, ein Mengensystem von offenen Mengen mit gewissen Eigenschaften. Über Basen lassen sich topologische Räume einfach definieren und klassifizieren. So erfüllen topologische Räume, die abzählbare Basen haben, das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Sie können im topologischen Sinn als „klein“ gelten.

Definition

Ein System von Teilmengen eines Topologischen Raumes $(X,{\mathcal {T}})$ heißt Basis der Topologie, auch topologische Basis, wenn

jede Menge aus offen bezüglich ${\mathcal {T}}$ ist (d.h. eine Teilmenge von ${\mathcal {T}}$ ist) und
jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus darstellen lässt, wenn man definiert, dass die leere Vereinigung die leere Menge $\emptyset$ ist.

Umgekehrt kann man ein System von Teilmengen einer Menge mit den Eigenschaften

Die Vereinigung aller Mengen aus ist die Gesamtmenge .
Jede nichtleere Schnittmenge von zwei Mengen aus lässt sich auch als Vereinigungsmenge von Mengen aus darstellen.

zur eindeutigen Definition einer Topologie (die durch definierte Topologie) auf verwenden:

Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungsmenge von Mengen aus darstellen lässt.

Eigenschaften

Jede topologische Basis von $(X,{\mathcal {T}})$ ist eine Subbasis von $(X,{\mathcal {T}})$ , der Basisbegriff verschärft also den Begriff Subbasis.
Der Begriff der topologischen Basis ist nicht zu verwechseln mit der Basis eines Vektorraumes, erstere ist eine Menge offener Mengen, zweitere eine Menge von Vektoren, im Falle topologischer Vektorräume also eine Menge von Punkten. Die Begriffe weisen insofern eine Parallele auf, dass beide die Gesamtstruktur in einem gewissen Sinne erzeugen, allerdings wird für eine topologische Basis in keiner Weise Minimalität gefordert.
Die Menge aller offenen Mengen eines topologischen Raums bildet eine Basis.
Ist für jeden Punkt aus des topologischen Raumes $(X,{\mathcal {T}})$ eine Umgebungsbasis ${\mathcal {U}}(x,{\mathcal {T}})$ aus offenen Mengen gegeben, so bildet die Vereinigung all dieser Umgebungsbasen eine Basis des topologischen Raumes $(X,{\mathcal {T}})$ .

Beispiele

Die Menge $B=\left\{X\right\}$ erzeugt als topologische Basis die indiskrete Topologie auf , in der nur die leere Menge und X offen sind.
Für das Mengensystem ${\mathcal {S}}:=\{\{1,2\},\{1,3\}\}$ ist die erzeugte Topologie:

$\tau ({\mathcal {S}})=\{\emptyset ,\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$ Somit ist $\mathcal{S}$ eine Subbasis des Topologischen Raumes $(\{1,2,3\},\tau ({\mathcal {S}}))=(\{1,2,3\},\{\emptyset ,\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\})$ , aber keine topologische Basis.

Das System der einpunktigen Mengen $\left\{x\right\}$ eines Raumes definiert als topologische Basis die diskrete Topologie auf , in der alle Teilmengen von offen sind.
Für eine natürliche Zahl ist das Mengensystem ${\mathcal {S}}:=\{(a,b)\subseteq {\mathbb {R}}^{n}|a,b\in {\mathbb {R}}^{n}\}$ der offenen Intervalle auf $\mathbb {R} ^{n}$ eine Basis der natürlichen Topologie auf $\mathbb {R} ^{n}$ .
In einem metrischen Raum bildet die Menge aller ε-Kugeln eine Basis der durch die Metrik induzierten Topologie.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de