Term

In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern. Terme können als die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik gesehen werden.

In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So kann man bspw. für die lineare Funktion f(x)=mx+b von einem linearen Term und einem konstanten Term reden.

Umgangssprachliche Erklärung

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel $(x+y)^{2}$ ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen und einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere mathematische Objekte in Betracht kommen,^[1] so ist etwa $(p_{1}\vee \neg p_{2})\wedge p_{3}$ ein Term, der einen Wert erhält, wenn man den booleschen Variablen $p_{1},p_{2},p_{3}$ einen Wahrheitswert zuordnet.^[2] Im Normalfall (einsortige Logik) nimmt die genaue mathematische Definition allerdings keinen Bezug auf die möglichen Wertzuweisungen, wie unten ausgeführt wird.

Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z.B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.

Mit Termen können üblicherweise folgende Operationen ausgeführt werden:

ausrechnen (dazu rechnet man erst die „inneren“ Funktionen aus und dann die äußeren): $(2+3)^{2}=5^{2}=25$
nach bestimmten Rechenregeln umformen: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ durch Anwendung des Distributivgesetzes und einiger anderer „erlaubter“ Regeln.
miteinander vergleichen, falls Relationen für die passenden Typen definiert sind: $2xy\leq x^{2}+y^{2}$
ineinander einsetzen (oft wird ein Term anstelle einer Variable eines anderen Terms eingesetzt). Eine spezielle Form der Einsetzung ist die Substitution, bei der ein Term mit Variablen durch einen anderen Term mit Variablen (meist eine einzelne Variable) ersetzt wird: $(x+y)^{2}$ entsteht aus $z^{2}$ durch Ersetzung von durch .

Häufig werden Terme oder Teilterme nach ihrer inhaltlichen Bedeutung benannt. Im Term ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}+mgh$ , der in der Physik die Gesamtenergie eines Massepunktes beschreibt, nennt man den ersten Summanden „Term der kinetischen Energie“ und den zweiten „Term der potentiellen Energie“. Oft werden auch charakteristische Eigenschaften zur Benennung herangezogen. So ist mit dem „quadratischen Term“ in $x^{3}+7x^{2}-2x+1$ der Teilterm $7x^{2}$ gemeint, weil dies der Teilterm ist, der die Variable in quadrierter Form enthält.

Formale Definition

Die genaue mathematische Definition eines Terms, wie sie in der mathematischen Logik gegeben wird, benennt Regeln, nach denen Terme aufgebaut werden. Ein Term ist dann jeder Ausdruck, der durch Anwendung solcher Regeln entsteht:

Jedes Variablensymbol ist ein Term.
Jedes Konstantensymbol ist ein Term.
Ist ein -stelliges Funktionssymbol und sind $t_{1},\dotsc ,t_{k}$ Terme, so ist $f(t_{1},\dotsc ,t_{k})$ ein Term.

Die Menge aller Terme zu einer gegebenen Signatur ${\boldsymbol S}$ und Variablenmenge $\mathcal V$ sei ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{{\boldsymbol {S}},{\mathcal {V}}}$ , für Terme ohne Variablen ( ${\mathcal {V}}=\emptyset$ ) einfach ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{\boldsymbol {S}}$ .
Durch die Funktionssymbole werden Verknüpfungen verschiedener Stelligkeit zwischen den Elementen von ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{{\boldsymbol {S}},{\mathcal {V}}}$ bzw. ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{\boldsymbol {S}}$ induziert, mit denen diese Mengen von Zeichenketten selbst zu einer algebraischen Struktur, der Termalgebra bzw. Grundtermalgebra werden.
Siehe auch Elementare Sprache, Logische Formeln.

Anmerkungen

Betrachtet man die mit + bezeichnete Addition, ist nach obiger, formaler Definition ein Term, hingegen nicht. Trotzdem zieht man die leichter lesbare Form vor, letzteres ist eine alternative, vorteilhafte Schreibweise für den korrekten Term . Demnach ist die Zeichenkette ein Name für einen Term, das heißt ein metasprachlicher Ausdruck für einen Term. Solange klar ist, dass man solche Zeichenketten jederzeit in die formal korrekte Schreibweise zurückübersetzen könnte, wenn man das wollte, entstehen hier keine Schwierigkeiten.
Manche Funktionen (beispielsweise die Potenzfunktion, Multiplikation mit Variablen) werden statt durch ein eigenes Funktionssymbol durch Positionierung der Terme zueinander dargestellt (beispielsweise $x^{y}$ oder )
Bei verschachtelten Klammersetzungen werden manchmal auch [ ] und { } eingesetzt, um die Zusammengehörigkeit der Klammern deutlicher zu machen, z.B. $[2(x+y)]^{2}$
Es gibt auch klammerfreie Notationen wie etwa die polnische Notation, diese sind in der Regel aber nicht so leicht zu lesen. Die dritte obige Definitionszeile lautet in dieser Notation (vergleiche: Prädikatenlogik erster Stufe §Terme):

o Ist ein k-stelliges Funktionssymbol und sind $t_{1},\dotsc ,t_{k}$ Terme, so ist $ft_{1},\dotsc ,t_{k}$ ein Term.

Gelegentlich werden die Konstanten als nullstellige Funktionen subsumiert, was sich besonders natürlich in der klammerfreien Notation darstellt.
Von einem möglichen Einsetzen von Werten in die Variablen, wie es in der obigen umgangssprachlichen Beschreibung vorkam, ist hier gar nicht die Rede. „Term“ ist hier ein rein syntaktischer Begriff, denn er muss nur gewissen Aufbauregeln genügen. Terme erhalten im Nachhinein eine semantische Bedeutung, indem man die möglichen Werte von Variablen in sogenannten Modellen einschränkt. Die Terme $(x+y)^{2}$ und $x^{2}+2xy+y^{2}$ sind zunächst als Zeichenketten verschieden. Betrachtet man diese Terme aber im Modell der reellen Zahlen, so zeigt sich, dass sie stets dieselben Werte annehmen. Die Termgleichheit $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ ist dann so zu verstehen, dass Gleichheit für alle $x,y\in \mathbb{R}$ besteht. Für andere Modelle kann das durchaus falsch sein, wie zum Beispiel für die Menge der $2{\times }2$ -Matrizen.
Die hier wiedergegebene Definition umfasst keine Terme mit gebundenen Variablen, wie etwa vielgliedrige Summen $\sum _{i=1}^{n}i^{2}$ , Integrale $\int _{a}^{b}\sin(k\cdot t)dt$ oder Grenzwerte $\lim _{n\to \infty }(2\cdot n+3)/n$ . Da bei der Einbindung von Quantoren in Ausdrücke (s.u.) ebenfalls gebundene Variablen vorkommen, gibt dies ein Beispiel, wie das geschehen könnte.^[3] Wie bei den Ausdrücken wird man dann Terme ohne freie Variablen als geschlossen bezeichnen. Ihre Wertzuweisung hängt dann nicht von der Variablenbelegung (s.u. Termauswertung) ab.
Neuerdings gewinnt die Baumdarstellung von Termen zunehmend an Bedeutung

Beispiel

${\tfrac {xy}{4}}$ ist ein Term, denn

und sind Terme (als Variablen),
ist ein Term (als Konstante),
ist ein Term („ $\operatorname {multipliziere} (x,y)$ “),
${\tfrac {xy}{4}}$ ist ein Term (Das Divisionssymbol ist der Bruchstrich () gleich wie $xy:4$ , „ $\operatorname {dividiere} (\operatorname {multipliziere} (x,y),4)$ “)

Anwendungen

Bildet man einen Term mit Variablen, so beabsichtigt man in Anwendungen häufig ein Ersetzen dieser Variablen durch bestimmte Werte, die einer gewissen Grundmenge bzw. Definitionsmenge entstammen. Zum Begriff des Terms selbst ist die Angabe einer solchen Menge nach obiger, formaler Definition nicht erforderlich. Man interessiert sich dann nicht mehr für den abstrakten Term, sondern für eine durch diesen Term definierte Funktion in einem bestimmten Modell.

So lautet eine Faustformel zum Ausrechnen des Anhalteweges (Bremsweg plus Reaktionsweg) eines Autos in Metern $\left({\tfrac {x}{10}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x}{10}}\cdot 3\right)$ . Diese Zeichenkette ist ein Term. Wir beabsichtigen, für die Geschwindigkeit des Autos in km pro Stunde einzusetzen, um den Wert, den der Term dann annimmt, als Bremsweg in Metern zu verwenden. Wenn ein Auto zum Beispiel 160 km/h fährt, liefert die Formel $\left({\tfrac {160}{10}}\right)^{2}+\left({\tfrac {160}{10}}\cdot 3\right)$ einen Anhalteweg von 304 m.

Wir verwenden den Term hier zur Definition der Zuordnungsvorschrift einer Funktion $f\colon \mathbb{R} _{0}^{+}\to \mathbb{R} _{0}^{+}$ , $x\mapsto \left({\tfrac {x}{10}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x}{10}}\cdot 3\right)$ .

Terme selbst sind weder wahr noch falsch und haben auch keine Werte. Erst in einem Modell, das heißt mit Angabe einer Grundmenge für die auftretenden Variablen, können Terme Werte annehmen.

Algebraische Umformungen

Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

$(x+y)(x-y)$ Ausmultiplizieren

$=x^{2}-xy+yx-y^{2}$ Kommutativgesetz anwenden

$=x^{2}-y^{2}$

Der Begriff des Terms sieht gemäß obiger Definition solche Umformungen nicht vor, es handelt sich jeweils um verschiedene Terme. Mit diesen algebraischen Umformungen ist stets gemeint, dass sich die Werte, die ein Term bei Wahl einer bestimmten Grundmenge annehmen kann, durch diese Umformungen nicht ändern. Das hängt von der Grundmenge ab! So sind obige Umformungen nur in solchen Grundmengen korrekt, in denen die verwendeten Gesetze wie zum Beispiel das Kommutativgesetz gelten.

Solche algebraischen Umformungen werden trotzdem Termumformungen genannt, da man nach in der vereinbarten Grundmenge geltenden Regeln von einem Term zu einem anderen übergeht, ohne dessen mögliche Werte zu ändern. Es werden damit folgende Ziele verfolgt:

Vereinfachung von Termen
Aufpumpen von Termen zur Erzeugung gewünschter Strukturen wie zum Beispiel bei der quadratischen Ergänzung
Herauspräparieren gewünschter Teilterme wie zum Beispiel bei der Cardanischen Formel: $(u+v)^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)$

Abgrenzung zum Ausdruck

Ausdrücke

Ein Ausdruck^[4] ist wie ein Term eine formale Zeichenkette; ihr Aufbau ist gemäß einer Logik definiert, z.B. der Prädikatenlogik. In der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit definiert man:^[5]

Sind $t_{1},t_{2}$ Terme, so ist $t_{1}=t_{2}$ ein Ausdruck.
Sind $t_{1},\dotsc ,t_{k}$ Terme und ist ein -stelliges Relationssymbol, so ist $Rt_{1}\dotso t_{k}$ ein Ausdruck.
Sind $\varphi$ und $\psi$ Ausdrücke, so sind auch $(\varphi \land \psi)$ , $(\varphi \lor \psi)$ , $(\varphi \rightarrow \psi)$ , $(\varphi \leftrightarrow \psi)$ , $(\exists x\varphi )$ und $(\forall x\varphi )$ Ausdrücke.^[6]

Damit kann durch mehrfache Anwendung dieser Bildungsgesetze beliebig komplizierte Ausdrücke aufbauen. Nach dieser Definition kann man Terme grob als das beschreiben, was auf einer Seite einer Gleichung stehen oder in eine Relation eingesetzt werden kann; Terme sind genau diese Bestandteile von Ausdrücken.

Die genaue Definition des Ausdrucks hängt von der betrachteten Logik ab, in der Prädikatenlogik zweiter Stufe nimmt man beispielsweise noch das Einsetzen von Termen in Relationsvariablen und Quantifizierungen über Relationen hinzu.

Beispiel

Zur Beschreibung der reellen Zahlen benutzt man für die Multiplikation das Verknüpfungszeichen $\cdot$ und für die Ungleichung das Relationssymbol $\leq$ , ferner Konstanten wie 0, 1, 2, … Sind x,y Variablen, so sind definitionsgemäß auch

$x\cdot x$ , die Konstante 0 und Terme.

Nach Definition des Ausdrucks sind

$x\cdot x=y$ und $0\leq y$

Ausdrücke, denn die erste Zeichenkette ist die Gleichheit zweier Terme; die zweite ist eine Relation, in die zwei Terme eingesetzt wurden. Damit ist auch

$0\leq y\rightarrow (\exists x(x\cdot x=y))$

ein Ausdruck und schließlich

$\forall y(0\leq y\rightarrow (\exists x(x\cdot x=y)))$

Dieser Ausdruck ist im Modell der reellen Zahlen wahr. Es ist wichtig zu verstehen, dass obiger Aufbau des Ausdrucks kein Beweis ist; es handelt sich lediglich um die Bildung einer Zeichenkette nach gewissen Regeln. Wahr oder falsch kann eine damit einhergehende Aussage erst in einem Modell sein, dort kann sie gegebenenfalls bewiesen werden. Obige Aussage ist im Modell der rationalen Zahlen bekanntlich falsch, denn die rationale Zahl y=2 ist $\geq 0$ , aber es gibt keine rationale Zahl , die $x\cdot x=y$ erfüllt.

Terme in vielsortiger Logik

Bei der Betrachtung heterogener Strukturen wie zum Beispiel Vektorräumen teilt man die Objekte gerne in verschiedene Sorten ein, bei Vektorräumen etwa Vektoren und Skalare. Die auftretenden Terme sind dann nach diesen Sorten zu unterscheiden. Als weitere Komponenten der Theorie kommt daher zunächst eine Menge von Sortenbezeichnern hinzu.

Durch die vielsortige Signatur ${\boldsymbol S}$ wird den Symbolen nicht nur eine einfache Stelligkeitszahl zugeordnet, sondern (bei Relationen und Funktionen) eine Sequenz (Tupel) von Argumentsorten, und (bei Konstanten und Funktionen) eine Wertsorte.

Bezüglich der Variablensorten finden sich in der Literatur im Wesentlichen zwei Vorgehensweisen:^[7]

Es wird eine einzige Variablenmenge $\mathcal V$ vorgesehen. Eine (ggf. nur partielle) Abbildung $\nu :{\mathcal {V}}\not \to T$ , die Variablenbezeichnern eine Sorte zuordnet, heißt Variablendeklaration; eine Variable aus dem Definitionsbereich der Variablendeklaration heißt deklariert. Bei der Interpretation kann diese im Skopus (Wirkungsbereich) des jeweiligen Quantors ersetzt werden durch eine lokale Variante (lokal modifizierte Variablendeklaration)
Andere Autoren grenzen dagegen die Symbolmengen für die Variablen verschiedener Sorten streng voneinander ab und benutzen jeweils für jede Sorte eine eigene Menge an Variablensymbolen. Die Variablen werden z.B. durch einen Sortenindex gekennzeichnet. Die Zuweisung $\nu$ einer Sorte zu einer Variablen ist fest und wird nicht lokal modifiziert.

Eine spezielle Bedeutung kommt – wenn vorhanden – der Sorte der logischen Wahrheitswerte $\{\operatorname {false} ,\operatorname {true} \}$ zu, sie sei hier mit $\operatorname {logical}$ bezeichnet. Relationen können entsprechend ihrer charakteristischen Funktion als Prädikate aufgefasst werden.^[8] Insbesondere entsprechen nullstellige Relationen logischen Konstanten, so wie nullstellige Funktionen einer Bildsorte den Konstanten dieser Sorte entsprechen.

Bei der rekursiven Definition der Terme wird auf deren Sortigkeit Bezug genommen, um die in der Einleitung angesprochenen syntaktischen Eigenschaften zu erzielen: Falsche Sortenbeziehungen erscheinen als Syntaxfehler.

Ausdrücke in der vielsortigen Logik

Ähnlich wie vielsortige Terme werden bei gegebener vielsortiger Signatur die Sortender Argumente und Bildwerte berücksichtigt. Die rekursive Definition zunächst atomarer und dann allgemeiner Formeln (Ausdrücke) erfolgt nach dieser Maßgabe. Falsche Sortenzuweisungen werden daher als Syntaxfehler ausgewiesen.

Im Fall flexibler Variablendeklaration ist zu beachten, dass im Skopus (Geltungsbereich) der Quantoren lokal modifizierte Variablendeklarationen zum Tragen kommen. Auf diese Weise können in diesem Fall dieselben Variablen für unterschiedliche Sorten genutzt werden. Für den Fall, dass eine Variable bereits außerhalb der Quantoren deklariert ist, d.h. wenn bereits im ursprünglichen Definitionsbereich der Deklaration $\nu$ enthalten ist, wird diese lokal überschrieben.

Termauswertung

Sei gegeben eine ${\boldsymbol S}$ -Struktur $\mathcal A$ mit Interpretationsfunktion $\alpha$ , $\mathcal V$ der Vorrat an Variablennamen. Im vielsortigen Fall sei zusätzlich gegeben eine Variablendeklaration mittels einer (ggf. nur partiellen) Abbildung $\nu {:}\ {\mathcal {V}}\not \to T$ .

Sei nun gegeben eine Variablenbelegung (auch Variablenzuweisung) $\beta$ . Im einsortigen Fall ist das eine (eventuell nur partielle) Abbildung $\beta {:}\ {\mathcal {V}}\not \to A$ , im vielsortigen Fall sei für jede Variable das Bild (sofern zugewiesen) ein Element des Wertebereichs der deklarierten Sorte: $\beta (x)\in A_{\nu (x)}$ .

Durch die Variablenbelegung $\beta$ wird den Termen ein Wert $[\![t]\!]$ zugeordnet wie folgt:

$[\![\color {blue}x\color {black}]\!]=\beta (\color {blue}x\color {black})$ für Variablen $\color {blue}x\color {black}\in {\mathcal {V}}$ ,
$[\![\color {blue}f(t_{1},\dots t_{n})\color {black}]\!]=\alpha (\color {blue}f\color {black})([\![\color {blue}t_{1}\color {black}]\!],\dots [\![\color {blue}t_{n}\color {black}]\!])$ für ein Funktionssymbol $\color {blue}f\color {black}$ der Stelligkeit $n=\sigma (\color {blue}f\color {black})$ .

Zeichen und Zeichenketten über dem Gesamtalphabet sind oben zur Verdeutlichung blau hervorgehoben:

Auf der linken Seite steht die Auswertung eines Terms, also einer Zeichenkette (endliche Folge von Symbolen).
Auf der rechten Seite wird eine Funktion (Verknüpfung) $\alpha (f)$ angewendet auf ihre Argumente $[\![t_{1}]\!],[\![t_{2}]\!],\dots$ .

Konstanten lassen sich als nullstellige Funktionen auffassen, explizit ist

$[\![c]\!]=\alpha (c)$ für Konstanten .

Die Abbildung $[\![\ ]\!]$ wird Termauswertung oder Termzuweisung genannt.

Im vielsortigen Fall ergibt die Auswertung eines Terms der (nicht-logischen) Sorte ein Objekt (Element) des Wertebereichs $A_{s}=\alpha (s)$ .

Die Termauswertung ist eine mit der Funktionsinterpretation $\alpha |_{\mathcal {F}}$ verträgliche Fortsetzung der Variablenbelegung $\beta$ und der Konstanteninterpretation $\alpha |_{\mathcal {C}}$ . Eine Termauswertung $[\![\ ]\!]$ ist durch zwei Parameter festgelegt:

die Interpretationsfunktion $\alpha$ (steht für die Struktur) und
die Variablenbelegung $\beta$

Unter der Voraussetzung, dass die Wertebereiche $A_{s}$ paarweise disjunkt sind, sind die Sorten $s=\nu (x)$ der belegten Variablen durch ihren Wert $\beta (x)\in A_{s}$ eindeutig bestimmt, so dass in diesem Fall die zusätzliche Angabe der Variablendeklaration nicht nötig ist. Man findet daher auch Notationen in der Art $[\![\ ]\!]_{\alpha ,\beta }$ statt $[\![\ ]\!]$ .^[9]

Gültigkeit von Ausdrücken

So wie sich Terme bei gegebener Struktur (ausgedrückt durch $\alpha$ ) und Variablenbelegung ( $\beta$ ) auf ihren Wert einer (nichtlogischen) Sorte auswerten lassen, lassen sich Ausdrücke $\varphi$ auf ihren logischen Wert auswerten. Anstelle von $[\![\varphi ]\!]_{\alpha ,\beta }$ ist für diese Gültigkeit von Ausdrücken (auch Wahrheitswert oder Formelzuweisung genannt) die Notation $(\alpha ,\beta )\models \varphi$ üblich. Diese Gültigkeit wird implizit durch die folgenden Regeln definiert:^[10]

$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}x\color {black}\Leftrightarrow \beta (\color {blue}x\color {black})$ ggf. für logische Variablen $\color {blue}x\color {black}\in {\mathcal {V}}$ ^[11]
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}t_{1}=t_{2}\color {black}\Leftrightarrow [\![\color {blue}t_{1}\color {black}]\!]_{\alpha ,\beta }\color {red}=\color {black}[\![\color {blue}t_{2}\color {black}]\!]_{\alpha ,\beta }$ für Terme $\color {blue}t_{1}\color {black},\color {blue}t_{2}\color {black}$ ^[12]
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}R(t_{1},\dots t_{k})\color {black}\Leftrightarrow ([\![\color {blue}t_{1}\color {black}]\!]_{\alpha ,\beta },\dots [\![\color {blue}t_{k}\color {black}]\!]_{\alpha ,\beta })\in \alpha (\color {blue}R\color {black})$ für ein Relationssymbol $\color {blue}R\color {black}$ der Stelligkeit $k=\sigma (\color {blue}R\color {black})$ und Terme $\color {blue}t_{1}\color {black},\dots \color {blue}t_{k}\color {black}$ , insbesondere

$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}R\color {black}\Leftrightarrow \epsilon \in \alpha (\color {blue}R\color {black})\Leftrightarrow \alpha (\color {blue}R\color {black})\neq \emptyset \Leftrightarrow \alpha (\color {blue}R\color {black})$ ggf. für logische Konstanten, d.h. nullstellige Relationen^[13]

$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\neg \varphi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ \color {red}\neg \color {black}(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \color {black}$ für Ausdrücke $\varphi$
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \lor \psi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ ((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \color {black})\ \;\color {red}\lor \color {black}\ \;((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\psi \color {black})$ für Ausdrücke $\color {blue}\varphi \color {black},\color {blue}\psi \color {black}$
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \land \psi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ ((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \color {black})\ \;\color {red}\land \color {black}\ \;((\alpha ,\nu )\models \color {blue}\psi \color {black})$
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \to \psi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ ((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \color {black})\ \;\color {red}\to \color {black}\ \;((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\psi \color {black})$
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \leftrightarrow \psi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ ((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\varphi \color {black})\ \;\color {red}\leftrightarrow \color {black}\ \;((\alpha ,\beta )\models \color {blue}\psi \color {black})$
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\forall \;x:s\ \varphi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ \color {red}\forall \color {black}\;a\in A_{\color {blue}s\color {black}}\color {red}:\color {black}(\alpha ,\beta _{\langle x\mapsto a\rangle })\models \color {blue}\varphi$ , wobei $\color {blue}s\color {black}\in T$ eine Sorte, $\color {blue}x\color {black}\in {\mathcal {V}}$ ein Variablensymbol und $\color {blue}\varphi \color {black}$ ein Ausdruck ist, in dem die lokale Variable $\color {blue}x\color {black}$ der Sorte $\color {blue}s\color {black}$ vorkommt.^[14]
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\exists \;x:s\ \varphi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ \color {red}\exists \color {black}\;a\in A_{\color {blue}s\color {black}}\color {red}:\color {black}(\alpha ,\beta _{\langle x\mapsto a\rangle })\models \color {blue}\varphi$ , wobei $\color {blue}s\color {black}$ , $\color {blue}x\color {black}$ und $\color {blue}\varphi \color {black}$ wie zuvor.^[14]

Zeichen und Zeichenketten über dem Gesamtalphabet sind oben zur Verdeutlichung blau hervorgehoben, insbesondere gehören dazu die Junktoren und Quantoren auf der linken Seite (Objektsprache). Die rot markierten auf der rechten Seite sind Abkürzungen für die logische Verknüpfungen etc. der gewöhnliche Sprache (Metasprache), mit der der Sachverhalt dargestellt wird, also für „und“, „oder“, „es gibt ein“, „für alle“, „ist gleich“, etc. Zur Unterscheidung von den Quantorsymbolen $\color {blue}\forall \color {black}\dots ,\color {blue}\exists \color {black}\dots$ der Objektsprache könnten hier z.B. auch $\color {red}\textstyle \bigwedge \limits _{\color {black}\dots }\color {black},\color {red}\textstyle \bigvee \limits _{\color {black}\dots }$ Verwendung finden.

Der Wahrheitswert von Sätzen (geschlossenen Ausdrücken, d.h. ohne freie Variablen) hängt nicht von der Variablenbelegung ab.

In der Prädikatenlogik zweiter Stufe mit Relationsvariablen kommen noch zwei weitere Regeln hinzu, in vielsortigen Normalfall sind das:

$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\forall \;X:t\ \varphi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ \color {red}\forall \color {black}\;R\subseteq \textstyle \prod A\circ {\color {blue}t\color {black}}\color {red}:\color {black}(\alpha ,\beta _{\langle X\mapsto R\rangle })\models \color {blue}\varphi$ , wobei $\color {blue}t\color {black}\in T^{*}$ der Argumenttyp ist, $\color {blue}X\color {black}\in {\mathcal {R}}$ ein Relationsvariablensymbol und $\color {blue}\varphi \color {black}$ ein Ausdruck, in dem die lokale Relationsvariable $\color {blue}X\color {black}$ vom Typ $\color {blue}t$ vorkommt.^[15]
$(\alpha ,\beta )\models \color {blue}\exists \;X:t\ \varphi \color {black}\ \ \Leftrightarrow \ \ \color {red}\exists \color {black}\;R\subseteq \textstyle \prod A\circ {\color {blue}t\color {black}}\color {red}:\color {black}(\alpha ,\beta _{\langle X\mapsto R\rangle })\models \color {blue}\varphi$ , wobei $\color {blue}t\color {black}\in T^{*}$ , $\color {blue}X\color {black}$ und $\color {blue}\varphi \color {black}$ wie zuvor.^[15]

Im einsortigen Fall kann das kartesische Produkt der Trägermengen $\textstyle \prod A\circ {\color {blue}t\color {black}}=A_{\color {blue}t_{1}\color {black}}\times \dots A_{\color {blue}t_{k}\color {black}}$ zu $A^{k}$ mit Stelligkeit vereinfacht werden. Meist werden Relationsvariablen mit fester Stelligkeit benutzt (diese gerne als Index notiert), andernfalls muss die Stelligkeit deklariert werden: Für die Stelligkeit $k\in \mathbb{N} _{0}$ wird dann eine symbolische Darstellung aus weiteren Zeichen $\color {blue}i$ benötigt mit $\alpha (\color {blue}i\color {black})=k\in \mathbb {N} _{0}$ ,^[16] der Aufwand ist daher gleich oder etwa gleich wie im mehrsortigen Fall.

Anmerkungen

↑ Siehe Abschnitt Terme in vielsortiger Logik.
↑ Gemeint ist hier eine abstrakte Boolesche Algebra als Wertebereich. Zum Spezialfall der Aussagenalgebra: logische Terme versus Ausdrücke siehe unten: §Ausdrücke und §Ausdrücke in vielsortiger Logik.
↑ Dazu müssen diese Terme zunächst in eine lineare Form (d.h. Zeichenketten) übergeführt werden. Bei den Quantoren entspricht dies dem Ersetzen der Schreibweise mit den Symbolen $\bigwedge _{\dots },\bigvee _{\dots }$ (ähnlich $\sum _{\dots },\prod _{\dots }$ ) durch $\forall \dots ,\exists \dots$ . Weiteres s.u.: Ausdrücke als quasi ‚logische Terme‘.
↑ oder Formel
↑ Die Ausdrücke gemäß Punkt 1 und 2 nennt man atomar.
↑ Eine Variable $x\in {\mathcal {V}}$ heißt gebunden in einem Ausdruck $\psi$ , wenn unmittelba auf den Quantor ( $\exists ,\forall ,\dots$ ) folgt, ansonsten wird als freie Variable bezeichnet. Variablen können im gleichen Ausdruck sowohl frei, als auch (lokal im Gültigkeitsbereich eines Quantors) gebunden vorkommen. Ein Ausdruck ohne freie Variablen heißt geschlossen oder ein Satz.
↑ In der Prädikatenlogik zweiter Stufe besteht auch im einsortigen Fall bezüglich der Stelligkeit der Relationsvariablen ebenfalls diese beiden Möglichkeiten, hier findet man meist die zweite Variante vor.
↑ Siehe Relationen und Funktionen
↑ In der ordnungssortierten Logik sind die den Sorten $s\in T$ zugeordneten Wertebereiche $A_{s}$ nicht notwendig disjunkt. Stattdessen ist die Menge der Sorten mit einer partiellen Ordnung $\preceq$ versehen, so dass für alle Sorten $s_{1},s_{2}$ gilt: Wenn $s_{1}\preceq s_{2}$ , dann $A_{s_{1}}\subseteq A_{s_{2}}$ . Jeder Konstanten, Variablen und schließlich jedem Term der Sorte wird eine Sortenmenge $<s>=\{r\in T|s\preceq r\}$ (Oberhalbmenge von s) zugeordnet, die alle Sorten umfasst mit $s\preceq r$ . Terme können dann kombiniert werden, wenn die Schnittmenge der Wertebereiche ihrer Sorten der Wertebereich einer definierten Sorte ist , also insbesondere nicht leer ist. Man schreibt dann $r=s_{1}\sqcap s_{2}$ (oder $r=s_{1}\cap s_{2}$ ). Diese Art von Logik ist Grundlage der Vererbung von Klassen (Klassenhierarchie) in der objektorientierten Programmierung.
↑ Vergleiche Gültigkeit in der Aussagenlogik
↑ mit $\nu (\color {blue}x\color {black})=\operatorname {logical}$
↑ Gerne wird zur Unterscheidung als Gleichheitssymbol in der Objektsprache $\color {blue}\equiv$ statt $\color {blue}=$ benutzt.
↑ mit $\epsilon =\emptyset$ , $\emptyset =\operatorname {false} ,\{\emptyset \}=\operatorname {true}$
↑ ^a ^b $\beta _{\langle x\mapsto a\rangle }$ ist die lokal modifizierte Variablenbelegung (-Variante), entsprechend der lokal modifizierten Variablendeklaration $\nu _{\langle x\mapsto s\rangle }$ , wegen $a\in A_{s}=\alpha (s)=\nu _{\langle x\mapsto s\rangle }(x)$ .
↑ ^a ^b $\beta _{\langle X\mapsto R\rangle }$ ist die lokal modifizierte Relationsvariablenbelegung (-Variante), entsprechend der lokal modifizierten Relationsvariablendeklaration $\nu _{\langle X\mapsto \color {blue}t\color {black}\rangle }$ , wegen $R\subseteq \textstyle \prod A\circ {\color {blue}t\color {black}}=\textstyle \prod A\circ \nu _{\langle X\mapsto t\rangle }(X)$ .
↑ Zum Beispiel $\color {blue}i\color {black}=\underbrace {\color {blue}||\color {black}\dots \color {blue}|\color {black}} _{k{\text{-mal}}}$ (Strichzählung) oder $\color {blue}i\color {black}=\underbrace {\color {blue}SS\color {black}\dots \color {blue}S\color {black}} _{k{\text{-mal}}}\color {blue}O\color {black}$ mit $k=|\color {blue}i\color {black}|$ = Länge von $\color {blue}i\color {black}$ bzw. $\color {blue}O$ = Zeichen für Null, $\color {blue}S$ = Zeichen für Inkrement (‚+1‘), bzw. komplexer eine Binär- oder Dezimaldarstellung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de