Lévy-Abstand

Der Lévy-Abstand, auch Lévy-Metrik genannt, ist in der Stochastik ein Maß für die Übereinstimmung zweier Verteilungsfunktionen. Er ist nach Paul Lévy benannt und ein Sonderfall der Prochorow-Metrik.

Definition

Bezeichne ${\mathcal {V}}_{1}$ die Menge aller Verteilungsfunktionen (im Sinne der Stochastik). Für zwei $F,G\in {\mathcal {V}}_{1}$ definiert man

$d_{L}(F,G)=\inf _{\epsilon \geq 0}\{F(x-\epsilon )-\epsilon \leq G(x)\leq F(x+\epsilon )+\epsilon {\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} \}$ .

Eigenschaften

$({\mathcal {V}}_{1},d_{L})$ ist ein separabler, vollständiger metrischer Raum.
Die Folge von Verteilungsfunktionen $(F_n)_{n \in \N}$ konvergiert genau dann schwach gegen eine Verteilungsfunktion , wenn $\lim _{n\to \infty }d_{L}(F_{n},F)=0$ ist. Somit metrisiert die Lévy-Metrik die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen.

Basierend auf einem Artikel in:

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