Leeres Modell

In der Statistik ist ein leeres Modell, auch Leermodell genannt (englisch intercept-only model), ein Modell, in dem nur der Achsenabschnitt (englisch intercept) berücksichtigt wird und bei der alle anderen Regressionsparameter gleich Null sind. Es stellt das die einfachste Spezifikation eines linearen Modells dar und enthält als einzigen trivialen Regressor die Eins. Beim Leermodell sind alle Regressionsparameter außer dem Achsenabschnitt null und die „beste“ Schätzung der abhängigen Variablen liefert das arithmetische Mittel. Das Leermodell ist meist das Referenzmodell um die Anpassungsgüte einer Regression zu bewerten. Es werden sukzessive Regression in das Modell aufgenommen, um zu bewerten wie sich die Anpassungsgüte im vergleich zum Nullmodell verbessert hat. Bei der sogenannten Vorwärtsselektion werden zum Leermodell, nacheinander die erklärenden Variablen einbezogen, die einen signifikanten Einfluss auf die Zielgröße haben, die somit einen wesentlichen Beitrag zur Verbesserung des Modells, d.h. der Erhöhung des multiplen Bestimmtheitsmaßes leisten.

Das Modell

Das Leermodell, also das Modell welches nur aus dem Achsenabschnitt besteht lautet

$Y_{i}=\beta _{0}+\varepsilon _{i}\quad ,i=1,\ldots ,n$ .

Hierbei ist $\beta _{0}$ der Achsenabschnitt und $\varepsilon_i$ stellt einen stochastischen Fehlerterm dar.

Schätzung des Modells

Beginnt man mit der allgemeinen Definition des KQ-Schätzers $\mathbf {b} =(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y}$ , so erhält man als KQ-Schätzer für den Achsenabschnitt:

$\mathbf {b} =(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} =\left({\begin{pmatrix}1&\cdots &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} =n^{-1}\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}={\overline {y}}={\hat {\beta }}_{0}\quad$ , mit $\quad \mathbf {X} =1\!\!1_{n}$

also den Durchschnitt der Zielgröße $\overline {y}$ . Dieser Schätzer ist unverzerrt, weil $\operatorname {E} ({\hat {\beta }}_{0})=\operatorname {E} ({\overline {Y}})=n^{-1}\sum \limits _{i=1}^{n}\operatorname {E} (\beta _{0}+\varepsilon _{i})=\beta _{0}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de