Division (Mathematik)

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Es wird ein Dividend durch einen Divisor geteilt, das Resultat nennt sich Quotient. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden , $\div$ oder verwendet (Geteiltzeichen).

Definition

Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element.

Bemerkung: Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganze Zahlen $\mathbb {Z} ,$ der rationalen Zahlen $\mathbb{Q} ,$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sowie der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ handelt es sich um mathematische Ringe.

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt ergibt: Finde zu gegebenem und ein so, dass $b \cdot x = a$ .

Beschränkt man sich auf ganze Zahlen $\mathbb {Z}$ , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ oder in den Körpern der reelle Zahlen $\mathbb {R}$ sowie der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ , gilt dagegen:

Für jede Zahl und für jede von null verschiedene Zahl

gibt es genau eine Zahl , die die Gleichung $b\cdot x = a$ erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses . Man schreibt

„ $x = a : b\,$ (gelesen: „ gleich geteilt durch “ oder kurz „ gleich durch “ oder auch „ gleich dividiert durch “).“

Dabei heißen:

Die Zahl , die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch ‚die zu Teilende‘ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
Die Zahl >, durch die geteilt wird, „Teiler“ oder „Divisor“ (lateinisch ‚der, der teilt‘), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
Der Term heißt „Quotient“.
Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

Eigenschaften

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt

$a:b=a\cdot {\tfrac {1}{b}}=a\cdot b^{-1}$ .

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,^[1] da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt

und

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Divisionen in einer Zeile wird die Reihenfolge von links nach rechts abgearbeitet; die Division ist daher linksassoziativ

$a:b:c=(a:b):c=a\cdot b^{-1}\cdot c^{-1}=a:(b\cdot c)$ .

Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich

Beispiel

Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der den Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Mathematischer Beweis

Sei ein Ring mit Nullelement $0$ .
Bei der „Division durch null“ ist der bekannte Faktor (Divisor) $b=0,$ es wird also gefragt:

Gibt es zu einem Element $a\in R$ eine Lösung $x\in R$ der Gleichung $0\cdot x=a\ ?$

Ist der Nullring, besteht also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung $x=0,$ denn es ist, weil es nichts anderes gibt, $a=0,$ und damit $0\cdot x=0\cdot 0=0=a,$ wie gefordert. Überdies ist $x=0$ die einzige Lösung.

Im Folgenden ist generell angenommen, dass mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist.

Gesucht sind zu einem Ringelement $a\in R$ Lösungen der Gleichung $0\cdot x=a$ .

1. Fall: $a\ne 0$ :

Für ein Ringelement $a\ne 0$ ist die Gleichung nicht lösbar,^[2] nicht in und auch nicht in einem Erweiterungsring $S\supset R$ . Denn, wie im Artikel Ring (Algebra) gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz:

Das neutrale Element $0$ der Addition eines Ringes ist Annullator mit $0 \cdot x = 0$ für jedes Ringelement $x\in S$ .

2. Fall: :

Obwohl die obige Gleichung im Fall a=0

jedes Ringelement $x\in R$ zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen (das „Eindeutigmachen“ der Division) zu Problemen führen. Bei der Setzung $x=0:0=1$ bspw. wähle man ein Ringelement $c\neq 1$ . (Das ist möglich, weil mindestens 2 Elemente hat.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe:

$1=0:0=(c\cdot 0):0=c\cdot (0:0)=c\cdot 1=c$ ,

was der Wahl $c\neq 1$ widerspräche.

Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus – gelten.

Bemerkungen

Hat der Ring Nullteiler, wie z.B. der Ring der Restklassen modulo 6 die Reste , dann
1. lässt sich die Gleichung $b \cdot x = a$ nicht für jedes $b \ne 0$ lösen.
  Beispiel: $3\cdot x\equiv 2{\text{ mod }}6$ hat keine Lösung in , weil $3\cdot R\equiv \{0,3\}{\text{ mod }}6$ den Rest $2{\text{ mod }}6$ nicht enthält.
2. kann eine Gleichung $b \cdot x = a$ mit $b \ne 0$ mehrere Lösungen haben.
  Beispiel: $3\cdot x\equiv 3{\text{ mod }}6$ hat die drei Lösungen $x\equiv 1,3,5{\text{ mod }}6$ .
In der wissenschaftlichen mathematischen Literatur wird die Division durch null nur dann erwähnt, wenn diese selbst das Thema des Kapitels ist.^[3]^[4]

Division durch null im Computer

Insbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird. Das Ziel der Implementierungen ist dann,

den Benutzer/Programmierer auf das Ereignis aufmerksam zu machen und
ein (Zwischen-)Ergebnis abzuliefern, mit dem das aussichtsreichste Weiterrechnen erwartet werden kann.

Festkomma

Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet, kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.

Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Gleitkomma

Geschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d.h. das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ bzw. "Minus Unendlich" gesetzt. Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z.B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, so dass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. (Der Artikel Permanenzprinzip erörtert verschiedene Konzepte, wie unter geringstmöglichem Verzicht auf Rechenregeln, bspw. auf Ringaxiome und Ordnungsrelationen, eine „Division durch null“ definiert werden könnte.)

Ist 1 : 0 = ∞?

Graph der Funktion $\tfrac{1}{x}$ .

Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber

erstens wird durch die Einführung eines „Wertes“ $\infty$ die Ringstruktur und ihre Arithmetik – wie oben gezeigt – aufgegeben. Weiterreichende Konsequenzen sind die nunmehr auftauchenden unbestimmten Ausdrücke, (zu denen die Ausdrücke vom Typ $1:0$ eigentlich schon gehören und) die allesamt einer Spezialbehandlung bedürfen.
zweitens kommt durch die Methode der Grenzwertbildung ein neues (über die Arithmetik hinausgehendes, nämlich ein topologisches) mathematisches Konzept zum Tragen, mit dem in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man aber diese Methode auf das Beispiel $\tfrac{1}{x}$ an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert, also $\scriptstyle \lim _{x\to 0+}{\tfrac {1}{x}}\;=\;+\infty .$ Nähert man sich der Null hingegen aus Richtung der negativen Zahlen an, so strebt der Wert der Funktion gegen $-\infty$ , also $\scriptstyle \lim _{x\to 0-}{\tfrac {1}{x}}\;=\;-\infty .$ Somit strebt die Funktion an der Stelle sowohl gegen $+\infty$ als auch gegen $-\infty$ , hat also keinen eindeutigen Grenzwert.
Wie das Beispiel zeigt, kommen zusätzliche Probleme betreffend die bei den Strukturen $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ so wichtige Ordnungsrelation hinzu.
Wenn man der Division unbedingt immer (auch der Division durch null) einen Wert zuweisen möchte, dann muss dieser auch die bei der Division sonst übliche Eindeutigkeit besitzen, eine Festlegung auf einen solchen ist bei jeder Wahl unbefriedigend und die Zuweisung einer Lösungsmenge $\{\infty ,-\infty \}$ ebenso.^[4]

Resümee

Die Komplikationen, die mit einer Einführung eines „Wertes“ für einher gehen, sind in jeder Hinsicht (insbesondere Einschränkung der Gültigkeit der Arithmetik, daraus resultierende Aufblähung der erforderlichen Rechenregeln, Mehrdeutigkeit) wesentlich nachteiliger als die einfache Anerkenntnis der einfachen Tatsache, dass Gleichungen vom Typ $0\cdot x=1$ keine Lösung haben.
Vielmehr ergeben sich viele neue Probleme, die mit einem derartigen Kalkül nicht sachgerecht behandelt werden können.
Abhängig vom gegebenen Fall gelingt es häufig, mit Methoden der Analysis unter Hinzunahme zusätzlicher Informationen, bspw. Monotonie und Stetigkeit, zu einer fundierten Lösung zu kommen, einer Lösung, die nur noch ganz entfernt an eine „Division durch null“ erinnert.

Division mit Rest

→ Hauptartikel: Division mit Rest

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig.

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: a: b oder $a \div b$ oder a / b oder ${\frac {a}{b}}$

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise ${\frac {a}{b}}$ heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Siehe auch

Rationale Funktion – Division von Funktionen
Gruppentheorie
Ringtheorie
Schiefkörper
Quasigruppe
Divisionsalgebra
Polynomdivision

Anmerkungen

↑ Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich ${\tfrac {a}{b}}$ insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt.
↑ »Nicht lösbar« ist eine schärfere Aussage als »undefiniert«. Bei letzterem könnte es noch einen Freiheitsgrad für eine Definition geben. Bei ersterem ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.
↑ Eine echte Grenzwertbildung, etwa nach Art der Regel von de l’Hospital, ist nicht als Division durch null anzusehen.
↑ ^a ^b Der Artikel Erweiterte reelle Zahl bringt zwei topologische Erweiterungen der reellen Zahlen, geht aber auch auf arithmetische Probleme ein.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de