Diskrete Metrik

Die diskrete Metrik ist eine spezielle Metrik, welche auf jeder beliebigen Menge definiert werden kann. Sie macht folglich jede Menge zu einem metrischen Raum. Da sie auf jeder Menge definiert werden kann, verlangt sie, im Gegensatz zu den meisten anderen bekannten Metriken, keine bereits vordefinierten Rechenoperationen auf der ihr zugeordneten Menge.

Definition

Ist eine beliebige Menge, so ist die diskrete Metrik $d:M\times M\to {\mathbb {R}}$ auf definiert durch

$d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{falls }}x=y\\1&{\text{falls }}x\neq y.\end{cases}}$

Die diskrete Metrik ordnet also jedem Paar verschiedener Punkte den identischen Abstand 1 zu.

Nachweis der Metrikaxiome

Um zu zeigen, dass die diskrete Metrik mit der angegebenen Definition auch tatsächlich eine Metrik ist, sind die drei Metrikaxiome nachzuweisen.

Das erste Axiom ist direkt aus der Definition ersichtlich.
Das zweite Axiom besagt die Symmetrie. Es ist also zu zeigen, dass $d(x,y)=d(y,x)\,$ . Im Falle $x\neq y$ ist beides 1, anderenfalls 0.
Für die Dreiecksungleichung ist zu zeigen:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Man unterscheidet zwei Fälle. Ist x=z, so ist die linke Seite gleich 0 und daher die Ungleichung sicher erfüllt. Im Fall $x\neq z$ muss $x\neq y$ oder $z\neq y$ sein, da nicht gleichzeitig mit zwei verschiedenen Elementen übereinstimmen kann. Das heißt, wenigstens eine der beiden Zahlen d(x,y) oder d(y,z) muss gleich 1 sein, und daher gilt:

$d(x,z)=1\leq d(x,y)+d(y,z)$

Damit sind die drei Metrikaxiome nachgewiesen und es ist gezeigt, dass die diskrete Metrik wirklich auf jeder Menge eine Metrik ist.

Eigenschaften

Viele schöne Eigenschaften der diskreten Metrik sind topologischer Art. Das bedeutet, sie folgen schon aus der diskreten Topologie, welche durch die diskrete Metrik induziert wird. Daher wollen wir zwischen diesen Eigenschaften und tatsächlich metrischen Eigenschaften unterscheiden. Weitere Eigenschaften der diskreten Topologie (und damit auch der diskreten Metrik) findet man im entsprechenden Artikel.

Topologische Eigenschaften

Abbildungen von einem metrischen Raum ausgestattet mit der diskreten Metrik in einen beliebigen anderen topologischen Raum sind immer stetig.
Im Sinne der diskreten Metrik konvergente Folgen konvergieren auch im Sinn jeder anderen Metrik ihres Bildraumes, da sie ab einem bestimmten Folgenglied konstant werden.
Jede Teilmenge eines metrischen Raumes ausgestattet mit der diskreten Metrik ist zugleich offen und abgeschlossen.
Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ausgestattet mit der diskreten Metrik ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist.
Jede Topologie auf einem Raum ist gröber als die durch die diskrete Metrik induzierte diskrete Topologie.

Metrische Eigenschaften

Da der Abstand zwischen zwei verschiedenen Elementen unabhängig von der Wahl der Elemente der gleiche ist, ist die diskrete Metrik sogar eine Ultrametrik.
Jeder metrische Raum ausgestattet mit der diskreten Metrik ist vollständig, das heißt, jede Cauchy-Folge konvergiert.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de