Hausdorff-Metrik

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand $\delta (A,B)$ zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen , eines metrischen Raums .

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand zwischen einem Punkt und einer nichtleeren kompakten Teilmenge $K\subseteq E$ unter Rückgriff auf die Metrik des Raums als

$D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen und als

$\delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.$

Man kann zeigen, dass $\delta$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

$\delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}$ ,

wobei

$A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}$ ,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand $\epsilon$ zur Menge .

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de