Hilbert-Schmidt-Operator

In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.

Motivation und Definition

Seien (e_i)_i und $(f_{i})_{i}$ zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum . sei ein stetiger linearer Operator auf H. Dann gilt

$\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}\,=\,\sum _{{i,k}}|\langle Ae_{i},f_{k}\rangle |^{2}\,=\,\sum _{{i,k}}|\langle e_{i},A^{*}f_{k}\rangle |^{2}\,=\,\sum _{k}\|A^{*}f_{k}\|^{2}$ .

Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen, $(e_{i})_{i}\,=\,(f_{i})_{i}$ , verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man durch A^* ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort durch A^* bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet $A^{{**}}=A$ , so erkennt man, dass die Größe $\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}$ unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt ein Hilbert-Schmidt-Operator und

$\|A\|_{2}:=\left(\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{{{\frac 12}}}$

ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt $\|A\|_{2}$ findet man auch die Schreibweise $\|A\|_{{HS}}$ .

Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf H, ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und dem Adjungieren abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit HS(H) bezeichnet.

Ein Operator $A\colon H_{1}\rightarrow H_{2}$ zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn $\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}$ für eine Orthonormalbasis (e_i)_i von $H_{1}$ endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit $\|A\|_{{HS}}$ .

Unendliche Matrizen

Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf als unendliche Matrix $(a_{{i,j}})_{{i,j}}$ mit $a_{{i,j}}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ auffassen. ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn $Ae_{i}$ wird auf $\textstyle \sum _{j}\langle Ae_{i},e_{j}\rangle e_{j}$ abgebildet. Es gilt $\textstyle \sum _{{i,j}}|a_{{i,j}}|^{2}\,=\,\|A\|_{2}^{2}$ . Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt $\textstyle \|AB\|_{2}\leq \|A\|_{2}\|B\|_{2}$ . Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.

Integraloperatoren

Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich $T\in L(L^{2}([0,1]),L^{2}([0,1]))$ ein beschränkter Operator von $L^{2}([0,1])$ nach $L^{2}([0,1])$ , dann kann gezeigt werden, dass genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern $k\in L^{2}([0,1]\times [0,1])$ gibt mit

$T(x)(s)=\int _{0}^{1}k(s,t)x(t){\mathrm {d}}t$

fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von und die $L^{2}$ -Norm von überein, es gilt also

$\|T\|_{{HS}}=\left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|k(s,t)|^{2}{\mathrm {d}}s{\mathrm {d}}t\right)^{{{\frac {1}{2}}}}=\|k\|_{{L^{2}}}.$

Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.

HS(H) als Hilbertraum

Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind und zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch $\langle A,B\rangle :=Sp(B^{*}A)$ ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert. HS(H) wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist $\|A\|_{2}={\sqrt {\langle A,A\rangle }}$ , d.h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dieses Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen.

HS(H) als Banachalgebra

Die Operatoren-Algebra HS(H) ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung $\|AB\|_{2}\leq \|A\|_{2}\|B\|_{2}$ gleichzeitig eine Banachalgebra. HS(H) ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra B(H) aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt $\|BAC\|_{2}\leq \|B\|\cdot \|A\|_{2}\cdot \|C\|$ für alle $A\in HS(H)$ , $B,C\in B(H)$ . Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist HS(H) auch ein zweiseitiges Ideal in der C^*-Algebra K(H) der kompakten Operatoren auf , HS(H) liegt dabei dicht in K(H) bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse N(H) ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in HS(H) enthalten. Man hat daher die Inklusionen

$N(H)\subset HS(H)\subset K(H)\subset B(H)$ .

Außer $\{0\}$ und sich selbst enthält HS(H) keine weiteren $\|\cdot \|_{2}$ -abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H^*-Algebren.

Siehe auch

Die Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Spezialfall einer Schatten-Klasse.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de