Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei $(A,\leq )$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

$f\colon \,A\to A$

heißt extensiv, falls gilt:

$a\leq f(a)$ für alle $a\in A$ .

Sie heißt intensiv, falls gilt:

$f(a)\leq a$ für alle $a\in A$ .

Beispiele

Auf $(A,\leq )$ ist die Identität $\operatorname {id} _{A}\colon \,a\mapsto a$ extensiv und intensiv, da $a\leq a$ immer gilt.
Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung $f\colon A \rightarrow A$ bereits dann einen Fixpunkt, falls streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u.a., Mannheim u.a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.

Basierend auf einem Artikel in:

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