Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz)

Definition

Eine Teilmenge ${\mathcal {D}}$ der Potenzmenge $\mathcal{P}(\Omega)$ einer nichtleeren Grundmenge $\Omega$ heißt Dynkin-System über $\Omega$ , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

Das System enthält die Grundmenge:

$\Omega \in \mathcal{D}$ .

Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

$A \in \mathcal{D} \implies A^c \in \mathcal{D}$ .

Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:

$\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D}$ disjunkt $\implies\bigcup_{n \in\mathbb{N}} A_{n}\in \mathcal{D}$ .

δ-Operator

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über $\Omega$ ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ ein Mengensystem, dann wird durch

$\delta(\mathcal{E}) := \bigcap_{\scriptstyle\mathcal{E} \subseteq \mathcal{S}\atop\scriptstyle \mathcal{S}\text{ Dynkin-System}}\mathcal{S}.$

ein Dynkin-System $\delta(\mathcal{E})$ definiert, genannt das von ${\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches ${\mathcal {E}}$ enthält. ${\mathcal {E}}$ heißt Erzeuger von $\delta(\mathcal{E})$ .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als $\lambda$ -System auch als $\lambda$ -Operator $\lambda (\cdot)$ notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind $d({\mathcal {E}})$ oder ${\mathcal {D}}({\mathcal {E}})$ .

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei $\alpha$ eine Aussage, die für Mengen $A\subseteq \Omega$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei $\Sigma$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger ${\mathcal {E}}$ , für dessen Elemente man $\alpha$ zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem $\mathcal{D} := \{A \in \Sigma \colon A \mbox{ erfüllt } \alpha\}$ und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von ${\mathcal {E}}$ einerseits $\delta(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})$ , andererseits gilt aber auch $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{D} \subseteq \Sigma$ und damit wegen $\Sigma = \sigma(\mathcal{E}) = \delta(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{D}$ schon $\Sigma = \mathcal{D}$ .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

${\mathcal {M}}=\{\emptyset ,\{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\}$

auf der Grundmenge $\Omega =\{1,2,3,4\}$ . Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht Schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der Dynkinsche π-λ-Satz: Ist ${\mathcal E}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von ${\mathcal E}$ erzeugte σ-Algebra und das von ${\mathcal E}$ erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem $\mathcal D$ ist genau dann ein Dynkin-System, wenn ${\mathcal {D}}$ eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge $\Omega$ enthält, und in der für beliebige Mengen $A,B \in \mathcal{D}$ mit $B\subset A$ gilt, dass auch $A \backslash B \in \mathcal{D}$ ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de