Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in der Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ . Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung $S_{g}$ an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven x-Achse ist:

$S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}$ .

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors ${\vec {v}}$ an einer beliebigen Geraden $g={\vec a}+r\cdot {\vec u}$ mit Neigungswinkel $\alpha$ darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g^{*}=r\cdot {\vec u}$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von um $-{\vec a}$ erreicht: ${\vec v}'={\vec v}-{\vec a}$ . Der Vektor ${\vec v}'$ wird nun an $g^{*}$ gespiegelt:

${\vec q}'=S_{g}({\vec v}')=S_{g}({\vec v}-{\vec a})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec v}-{\vec a})$
Verschiebung von ${\vec q}'$ um den Stützvektor ${\vec {a}}$ der Ausgangsgeraden

${\vec q}={\vec q}'+{\vec a}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec v}-{\vec a})+{\vec a}$

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.

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