Determinantenfunktion

Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Funktion $f\colon V^{n}\rightarrow K$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:

$\forall \,i\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\;\forall \,a,b\in V\colon f\left(v_{1},\ldots ,v_{{i-1}},a+b,v_{{i+1}},\ldots ,v_{n}\right)=f\left(v_{1},\ldots ,v_{{i-1}},a,v_{{i+1}},\ldots ,v_{n}\right)+f\left(v_{1},\ldots ,v_{{i-1}},b,v_{{i+1}},\ldots ,v_{n}\right)$ (Additivität)

$\forall \,i\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\;\forall \,a\in V,\;\forall \,r\in K\colon f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot a,v_{i+1},\dots ,v_{n}\right)=r\cdot f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)$ (Homogenität)

ist alternierend:

$\left(\exists \,r,s\in \left\{1,\ldots ,n\right\},r\neq s\colon v_{r}=v_{s}\right)\Rightarrow f\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right)=0$

Eigenschaften

Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation $\sigma$ : $f\left(v_{{\sigma (1)}},v_{{\sigma (2)}},\dots ,v_{{\sigma (n)}}\right)={\mathrm {sgn}}(\sigma )\cdot f\left(v_{{1}},v_{{2}},\dots ,v_{{n}}\right)$ , wobei ${\mathrm {sgn}}$ das Signum der Permutation bezeichnet.

Sind $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$ linear abhängig, so gilt $f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=0$ . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h. $f\not \equiv 0$ ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

Sind $f,g:V^{n}\rightarrow K$ zwei Determinantenfunktionen und $f\not \equiv 0$ , dann gibt es ein $a \in K$ so, dass $g(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=a\cdot f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\;\forall \,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$ . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
$V = \mathbb{R}^n$ , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3

Basierend auf einem Artikel in:

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