Stieltjes’scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Stieltjes’scher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring ${\mathcal {J}}:=\{]a,b]:a,b\in {\mathbb {R}},a\leq b\}$ über $\mathbb {R}$ definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

${\mathcal {F}}:=\left\{\left.\bigcup _{{j=1}}^{n}I_{j}\,\right|\,I_{1},\dotsc ,I_{n}\in {\mathcal {J}},I_{j}\cap I_{k}=\emptyset {\text{ wenn }}j\neq k\right\}$

betrachtet werden.

Ist $F:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}$ eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

$\mu _{F}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathbb {R}},\mu _{F}(]a,b]):=F(b)-F(a),(a\leq b)$

den zu gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Darstellung von Inhalten

Ist $\mu :{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathbb {R}}$ ein endlicher Inhalt und wird $F:{\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}$ definiert durch

$F(x):={\begin{cases}\mu (]0,x]),&{\mbox{wenn }}x\geq 0\\-\mu (]x,0]),&{\mbox{wenn }}x<0\end{cases}}$ ,

so ist eine monoton wachsende Funktion und es gilt $\mu =\mu _{F}$ . Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf $\mathbb {R}$ als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Lebesgue-Stieltjes’sches Prämaß

Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

$\mu_F \left(\bigcup_{i=1}^\infty I_i\right)= \sum_{i=1}^\infty \mu_F(I_i)$

gilt, wenn die $I_{i}$ paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man $\mu_F$ das zu gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für F(x)=x das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist $\mu_F$ ein Prämaß, genau dann wenn linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral $\textstyle \int _{{a}}^{{b}}g(x)\ {\mathrm {d}}F(x)$ erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de