Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten $\gamma _{n}$ sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

$\gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}k}{k}}-{\frac {\log ^{n+1}N}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc$

definiert sind, wobei $\gamma _{0}$ die Eulersche Konstante $\gamma$ ist. Es wird vermutet, dass die $\gamma _{n}$ irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}$

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\log ^{2}x}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=(\log 2)\,{\big (}{\frac {1}{3}}\log ^{2}2+\zeta (2)-\gamma ^{2}-2\gamma _{1}{\big )}=1{,}121192486\dots$

Sie hängen eng mit den Zahlen

$\tau _{n}:=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log ^{n}k}{k}},\quad n=0,1,2,\dotsc$

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

$\tau _{0}=\log 2$

$\tau _{n}={\frac {\log ^{n+1}2}{n+1}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}\log ^{n-k}2\cdot \gamma _{k},\qquad n=1,2,\dotsc$

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

$\gamma _{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}B_{n+1-k}\log ^{n-k}2\cdot \tau _{k},\quad n=0,1,2,\dotsc$

Aus der Rekursion ergibt sich für n=1 die Identität $\tau _{1}={\tfrac {1}{2}}\log ^{2}2-\gamma \log 2$ , d.h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe

$\gamma ={\frac {1}{2}}\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}={\frac {1}{2}}\log 2+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log _{2}k}{k}},$

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge $\gamma _{n}$ zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |\gamma _{n}|}{n}}=\ln \ln n$

gilt.

Numerische Werte

n	Dezimalentwicklung von γ_n	OEIS
0	0,577215664901532860606512090082 …	A001620
1	−0,0728158454836767248605863758749 …	A082633
2	−0,00969036319287231848453038603521 …	A086279
3	0,00205383442030334586616004654275 …	A086280
4	0,00232537006546730005746817017752 …	A086281
5	0,000793323817301062701753334877444 …	A086282
6	−0,000238769345430199609872421841908 …	A183141
7	−0,000527289567057751046074097505478 …	A183167
8	−0,000352123353803039509602052165001 …	A183206
9	−0,000034394774418088048177914623798 …	A184853
10	0,000205332814909064794683722289237 …	A184854

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

$\gamma _{n}(a):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+a)}{k+a}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+a)}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc$

Basierend auf einem Artikel in:

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