Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ( $\Z_2$ oder $C_{2}$ ) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_{2}$ , zur ersten Diedergruppe $D_{1}$ und zur orthogonalen Gruppe O(1) im Eindimensionalen.

Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe $\Z_2$ der additiven Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

	0	1
0	0	1
1	1	0

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe $\{1,2\}$ der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ isomorph zu $\Z_2$ ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

$\cdot$	1	2
1	1	2
2	2	1

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes $\mathbb {Z}$ . Diese ist $\{-1,1\}\subset \mathbb {Z}$ und man erhält die Verknüpfungstafel

$\cdot$	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

ℤ₂ als Untergruppe

Das direkte Produkt der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die Kleinsche Vierergruppe: $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}=V_{4}$ .
Das direkte Produkt abzählbar vieler dieser Gruppen ergibt die Cantorgruppe.
Die symmetrische Gruppe $S_{3}$ enthält drei zur Gruppe $\Z_2$ isomorphe echte Untergruppen.

Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der $\Z_2$ bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der $\Z_2$ .

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der $\Z_2$ entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

ℤ₂ als Körper

Die Gruppe $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf $\Z_2$ ist durch die Verknüpfungstafel

$\cdot$	0	1
0	0	0
1	0	1

gegeben. Beachte, dass $\Z_2$ mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen und $\cdot$ zusammen machen $\Z_2$ zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit $F_{2}$ oder $\mathbb {F} _{2}$ bezeichnet.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de

Z2 (Gruppe)

Eigenschaften

ℤ2 als Untergruppe

Darstellungen

ℤ2 als Körper

ℤ₂ als Untergruppe

ℤ₂ als Körper