Einparameter-Untergruppe

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Damit ist eine Einparameter-Untergruppe keine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Definition

Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen

Sei eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung $\varphi : \mathbb R \rightarrow G$ eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beispiele

Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\mathbb R \to \mathbb R$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen $x \mapsto \lambda x$ für ein festes $\lambda \in \mathbb R$ .
Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\mathbb R \to \mathbb R^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x \mapsto a^x$ für ein festes $a \in \R_{>0}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

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