Sporadische Gruppe
Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um die endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der (18) Familien mit unendlich vielen Mitgliedern (von endlichen einfachen Gruppen) einordnen lassen.
Entdeckungsgeschichte
Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.
Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von William Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.
Einteilung
Eine von X zu Y aufsteigende Linie bedeutet:
X ist Subquotient von Y
Im nebenstehenden Hasse-Diagramm sind zwei Gruppen X und Y, die zueinander in der Relation X ist Subquotient von Y stehen, durch eine Linie von unten nach oben verbunden. Gruppen ohne Linie nach oben, also maximale bezüglich der Relation, sind eingekreist. Da die Relation transitiv ist, sind implizierte Verbindungslinien weggelassen. Des Weiteren zeigt das Diagramm der Übersicht halber als Subquotienten nur einfache Gruppen X, zudem nur solche, zu denen es keinen echt zwischen X und Y liegenden, einfachen Subquotienten gibt.
20 der 26 sporadischen Gruppen sind Subquotienten der Monstergruppe M, von Robert Griess Friendly Giant (deutsch: freundlicher Riese) genannt. Diese 20 Gruppen werden nach Griess unter dem Namen Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) zusammengefasst. Letztere gliedert sich in drei Generationen, wobei die erste Generation mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite mit dem Leech-Gitter bzw. Automorphismengruppen davon in Zusammenhang steht. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1 bis Co3, J2, McL, HS. Die dritte Generation ist nahe verwandt mit M und enthält die übrigen Gruppen der Happy Family.
Die sechs sporadischen Gruppen, die nicht Subquotienten der Monstergruppe sind, sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die O’Nan-Gruppe (O’N), die Rudvalisgruppe (Ru) und die Lyonsgruppe (Ly). Sie werden bei Robert Griess Parias (engl. pariah) genannt (in der Tabelle die Generation –).
Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Tits-Gruppe 2F4(2)′ der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen, weil sie nicht im strengen Sinn eine Gruppe vom Lie-Typ sei. Mit ihrer Zugehörigkeit zur unendlichen Familie 2F4(22n+1)′ von endlichen einfachen Gruppen, die für n> 0 mit der Familie 2F4(22n+1) von Gruppen (vom Lie-Typ) übereinstimmt, ist sie im strengen Sinn aber keine sporadische Gruppe.[1]
Tabelle der 26 sporadischen Gruppen
| Name | Symbole[2] | Entdecker | Jahr | Gene- ration |
Ordnung (zirka) |
Ordnung (als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS) |
Ordnung (in Primzerlegung) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mathieugruppe M11 | M11 | Mathieu | 1861 | 1 | 8·103 | 7.920 | 24·32·5·11 |
| Mathieugruppe M12 | M12 | Mathieu | 1861 | 1 | 1·105 | 95.040 | 26·33·5·11 |
| Mathieugruppe M22 | M22 | Mathieu | 1861 | 1 | 4·105 | 443.520 | 27·32·5·7·11 |
| Mathieugruppe M23 | M23 | Mathieu | 1861 | 1 | 1·107 | 10.200.960 | 27·32·5·7·11·23 |
| Mathieugruppe M24 | M24 | Mathieu | 1861 | 1 | 2·108 | 244.823.040 | 210·33·5·7·11·23 |
| Jankogruppe J1 | J1 | Janko | 1964 | – | 2·105 | 175.560 | 23·3·5·7·11·19 |
| Jankogruppe J2 | J2, HJ | Janko | 1966 | 2 | 6·105 | 604.800 | 27·33·52·7 |
| Jankogruppe J3 | J3 | Janko | 1966 | – | 5·107 | 50.232.960 | 27·35·5·17·19 |
| Jankogruppe J4 | J4 | Janko | 1975 | – | 9·1019 | 86.775.571.046.077.562.880 | 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43 |
| Higman-Sims-Gruppe | HS | Higman, Sims | 1967 | 2 | 4·107 | 44.352.000 | 29·32·53·7·11 |
| Conwaygruppe Co1 | Co1, C1 | Conway | 1968 | 2 | 4·1018 | 4.157.776.806.543.360.000 | 221·39·54·72·11·13·23 |
| Conwaygruppe Co2 | Co2, C2 | Conway | 1969 | 2 | 4·1013 | 42.305.421.312.000 | 218·36·53·7·11·23 |
| Conwaygruppe Co3 | Co3, C3 | Conway | 1969 | 2 | 5·1011 | 495.766.656.000 | 210·37·53·7·11·23 |
| Heldgruppe | He | Held | 1969 | 3 | 4·109 | 4.030.387.200 | 210·33·52·73·17 |
| McLaughlin-Gruppe | McL, Mc | McLaughlin | 1969 | 2 | 9·108 | 898.128.000 | 27·36·53·7·11 |
| Suzukigruppe | Suz | Suzuki | 1969 | 2 | 4·1011 | 448.345.497.600 | 213·37·52·7·11·13 |
| Fischergruppe F22 | Fi22, M(22) | Fischer | 1976 | 3 | 6·1013 | 64.561.751.654.400 | 217·39·52·7·11·13 |
| Fischergruppe F23 | Fi23, M(23) | Fischer | 1976 | 3 | 4·1018 | 4.089.470.473.293.004.800 | 218·313·52·7·11·13·17·23 |
| Fischergruppe F24 | Fi24′, Fi24, M(24) | Fischer | 1976 | 3 | 1·1024 | 1.255.205.709.190.661.721.292.800 | 221·316·52·73·11·13·17·23·29 |
| Lyonsgruppe | Ly | Lyons | 1973 | – | 5·1016 | 51.765.179.004.000.000 | 28·37·56·7·11·31·37·67 |
| Rudvalisgruppe | Ru | Rudvalis | 1973 | – | 1·1011 | 145.926.144.000 | 214·33·53·7·13·29 |
| Baby-Monstergruppe | B, F2 | Fischer | ca. 1970 | 3 | 4·1033 | 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 | 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47 |
| O’Nan-Gruppe | O’N | O’Nan | 1976 | – | 4·1011 | 460.815.505.920 | 29·34·5·73·11·19·31 |
| Thompsongruppe | Th, F3 | Thompson | 1976 | 3 | 9·1016 | 90.745.943.887.872.000 | 215·310·53·72·13·19·31 |
| Harada-Norton-Gruppe | HN, F5 | Harada, Norton, Smith | 1976 | 3 | 3·1014 | 273.030.912.000.000 | 214·36·56·7·11·19 |
| Monstergruppe | M, F1 | Fischer, Griess | 1976 | 3 | 8·1053 | 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 | 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 |
Literatur
- Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 1–102
Anmerkungen
- ↑ Genauso wenig wie die Gruppen von Primzahlordnung oder die größeren alternierenden Gruppen vom Lie-Typ sind, jedoch endlich und einfach sind – und als Mitglieder einer unendlichen Familie nicht sporadisch.
- ↑ Das erste Symbol wird im Atlas of Finite Group Representations als einziges geführt.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 18.12. 2019