Spezielle lineare Gruppe

Verknüpfungstafel von $\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} _{3})$

Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung von Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), $\operatorname {SL} (n,K)$ , ist die Gruppe aller $n\times n$ Matrizen mit Koeffizienten aus , deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt. Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge $\mathbb {R}$ der reellen oder $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch $\operatorname {SL} (n)$ .

Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} (n,K)$ ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe $\operatorname {GL} (n,K)$ .

Die Faktorgruppe $\operatorname {GL} (n,K)/\operatorname {SL} (n,K)$ ist isomorph zu $K^{*}$ , der Einheitengruppe von (für einen Körper ist $K^{*}$ gleich $K \setminus\{0\}$ ). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der $\operatorname {SL} (n,K)$ sind für $K = \R$ die spezielle orthogonale Gruppe $\operatorname {SO}(n)$ und für $K = \C$ die spezielle unitäre Gruppe $\operatorname {SU} (n)$ .

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} (n,K)$ über dem Körper $K = \R$ oder $K = \C$ ist eine Lie-Gruppe über der Dimension n^2-1 .

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} (n,K)$ beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch

Modulform

Basierend auf einem Artikel in:

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