Inzidenzmatrix

Eine Inzidenzmatrix (auch Knoten-Kanten-Matrix) eines Graphen ist eine Matrix, welche die Beziehungen der Knoten und Kanten des Graphen speichert. Wenn der Graph Knoten und Kanten besitzt, ist seine Inzidenzmatrix eine $n \times m$ -Matrix. Der Eintrag in der -ten Zeile und -ten Spalte gibt an, ob der -te Knoten Teil der -ten Kante ist. Steht an dieser Stelle eine 1, ist eine Inzidenzbeziehung gegeben; bei einer 0 liegt keine Inzidenz vor. Es wird davon ausgegangen, dass die Knoten von 1 bis und die Kanten von 1 bis durchnummeriert sind.

Definition

Ungerichtete Graphen

Für einen schleifenfreien ungerichteten Graphen G = (V, E) mit $V=\{v_{1},\dotsc ,v_{n}\}$ und $E=\{e_{1},\dotsc ,e_{m}\}$ ist die Inzidenzmatrix $B=(b_{i,j})$ formal definiert durch:

$b_{{ij}}:={\begin{cases}1,&{\text{ falls }}v_{i}\in e_{j}\\0,&{\text{ sonst}}\end{cases}}$

Die Inzidenzmatrix eines ungerichteten Graphen enthält also in jeder Spalte genau 2 von 0 verschiedene Einträge.

Gerichtete Graphen

Für einen schleifenfreien, gerichteten Graphen G = (V, E) mit $V=\{v_{1},\dotsc ,v_{n}\}$ und $E=\{e_{1},\dotsc ,e_{m}\}$ ist die Inzidenzmatrix $B=(b_{i,j})$ definiert durch:

$b_{{ij}}:={\begin{cases}1,&{\text{ falls }}e_{j}=(v_{i},x)\\0,&{\text{ falls }}v_{i}\notin e_{j}\\-1,&{\text{ falls }}e_{j}=(x,v_{i})\end{cases}}$

wobei hier einen beliebigen Knoten darstellt.

Die Inzidenzmatrix eines gerichteten Graphen enthält also in jeder Spalte genau einmal die (Startknoten) und einmal die (Endknoten). Alternativ werden Inzidenzmatrizen auch manchmal mit umgekehrtem Vorzeichen definiert, heißt $b_{{ij}}=-1$ falls die Kante $e_{j}$ am Knoten v_i beginnt und $b_{{ij}}=1$ falls die Kante $e_{j}$ am Knoten v_i endet. Dies ist insbesondere zu beachten, wenn man Ungleichungen betrachtet, die Inzidenzmatrizen enthalten.

Beispiele

Ungerichtete Graphen

Der untersuchte Graph mit der Nummerierung der Knoten und Kanten

Wir untersuchen nun als Beispielgraph den rechts stehenden Graphen, der dem Haus vom Nikolaus ähnelt mit der in dem Bild angegebenen Nummerierung der Knoten und Kanten. Um aus diesem Graphen eine Inzidenzmatrix zu erstellen, beginnen wir mit einer leeren Matrix. Diese enthält für den betrachteten Graphen $j=6$ Spalten und i=5 Zeilen. Die Kanten werden in die Spalten eingetragen und die Ecken in die Zeilen.

Die Zahlen an den Kanten sind dabei nicht mit Gewichtungen der Kanten zu verwechseln. Sie beschreiben die Namen der Kanten $(e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{6})$ , die in der Matrix als Spalten wiederzufinden sind.

Nun werden für jede Spalte (Kante) die dazugehörigen Knoten mit 1 markiert, alle anderen Knoten mit 0. Es ergibt sich folgende Inzidenzmatrix:

${\begin{pmatrix}1&0&0&0&1&0\\1&1&0&0&0&1\\0&1&1&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&1&1\\\end{pmatrix}}$

oder als Tabelle formatiert:

	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆
v₁	1	0	0	0	1	0
v₂	1	1	0	0	0	1
v₃	0	1	1	0	0	0
v₄	0	0	1	1	0	0
v₅	0	0	0	1	1	1

Ist die Inzidenzmatrix eines ungerichteten Graphen korrekt aufgebaut, dann muss in jeder Spalte (Kante) in Summe 2 stehen, da jede Kante exakt 2 Punkte verbindet. Ist ein Punkt mit sich selbst verbunden, steht in der entsprechenden Zelle eine 2. Die Summe jeder Zeile entspricht den Kanten, die in den dazugehörigen Punkt führen.

Gerichtete Graphen

Der im Beispiel behandelte gerichtete Graph

Als Beispiel einer Inzidenzmatrix eines gerichteten Graphen betrachten wir nun den rechts stehenden Graphen. Wieder nehmen wir die Nummerierung der Knoten als vorgegeben an. Die Kanten sind wie folgend nummeriert: $e_{1}=(1,2),e_{2}=(3,2),e_{3}=(3,1),e_{4}=(1,4),e_{5}=(2,4),e_{6}=(4,3).$ Es ist |E|=6=m und |V|=4=n . Die Inzidenzmatrix ist also eine $4\times 6$ -Matrix:

${\begin{pmatrix}1&0&-1&1&0&0\\-1&-1&0&0&1&0\\0&1&1&0&0&-1\\0&0&0&-1&-1&1\\\end{pmatrix}}$

oder als Tabelle formatiert:

	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆
v₁	1	0	−1	1	0	0
v₂	−1	−1	0	0	1	0
v₃	0	1	1	0	0	−1
v₄	0	0	0	−1	−1	1

Die Inzidenzmatrix eines gerichteten Graphen ist korrekt aufgebaut, wenn in jeder Spalte zwei Nichtnulleinträge stehen, die sich zu Null addieren.

Verwendung

Speicherung von Graphen im Computer

Inzidenzmatrizen werden in der Informatik zur Speicherung von Graphen verwendet. Die Inzidenzmatrix eines Graphen mit Knoten und Kanten benötigt einen Speicher von ${\mathcal {O}}(n\cdot m)$ (siehe Landau-Symbole).
Da die Platzkomplexität von Adjazenzmatrizen ${\mathcal {O}}(n^{2})$ beträgt, sind Inzidenzmatrizen, sollte es weniger Kanten als Knoten geben, speicherplatztechnisch effizienter.

Spektrale Graphentheorie

Des Weiteren finden Inzidenzmatrizen Anwendung in der spektralen Graphentheorie, wo versucht wird, aufgrund gewisser Eigenschaften der Inzidenzmatrix Rückschlüsse auf die Eigenschaften des repräsentierten Graphen zu ziehen.

Optimierung

Die Inzidenzmatrix eines ungerichteten bipartiten Graphen ist eine total unimodulare Matrix, genauso wie die eines Digraphen. Daher lässt sich unter gewissen Voraussetzungen die Ganzzahligkeit der Lösung eines linearen Optimierungsproblems zeigen, wenn die zulässige Menge durch eine der vorhin genannten Inzidenzmatrizen definiert wird. Insbesondere stellt dies eine Verbindung zwischen diskreter Optimierung und linearer Optimierung her.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de