Harmonische Folge

Die ersten 10 Folgeglieder der harmonischen Folge

Die harmonische Folge ist die mathematische Zahlenfolge der Kehrwerte der positiven ganzen Zahlen, also die Folge

$1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\cdots$

mit dem allgemeinen Glied

$a_n=\frac{1}{n}\quad n\ge1$ .

Jedes Glied der harmonischen Folge mit $n\geq 2$ ist das harmonische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summation der Folgenglieder ergibt die harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Folge hat das allgemeine Glied

$a_n=\frac{\left(-1\right)^{(n+1)}}{n}\quad n\ge1$ .

Für $k\in \mathbb {N}$ ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

$\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,\,{\tfrac {1}{2^{k}}},\,{\tfrac {1}{3^{k}}},\,{\tfrac {1}{4^{k}}},\,{\tfrac {1}{5^{k}}},\,\ldots \right)$

Eigenschaften

Die harmonische Folge konvergiert gegen Null: $\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0$ .

Die harmonische Folge ist monoton fallend und hat nur strikt positive Folgenglieder.
Das Maximum der Folgenglieder und damit das Supremum ist 1. Das Infimum der Folgenglieder ist 0, welches aber nicht durch die Folge angenommen wird.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de