Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die einer reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol $\left[x\right]$ für die Abrundungsfunktion 1808 einführte. Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen $\operatorname {floor} (x)$ und $\lfloor x\rfloor$ (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie $\operatorname {ceil} (x)$ und $\lceil x\rceil$ (engl. ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion. Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation. Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl ist $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist:

$\lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}$

Beispiele

$\lfloor 2{,}8\rfloor =2$

$\lfloor -2{,}8\rfloor =-3$

Man beachte, dass $\lfloor -2{,}8\rfloor$ nicht etwa gleich ist. Die Definition verlangt ja $\lfloor x\rfloor \leq x$ , und es ist -2>-2{,}8

$\lfloor -2{,}2\rfloor =-3$

$\lfloor 2\rfloor =2$

Eigenschaften

Für alle $k\in \mathbb {Z} ,x\in \mathbb {R}$ gilt

$k\leq \lfloor x\rfloor \Longleftrightarrow k\leq x$ .

Es gilt immer $\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1$ . Dabei ist $\lfloor x\rfloor =x$ genau dann, wenn eine ganze Zahl ist.

Für jede ganze Zahl und jede reelle Zahl gilt

$\lfloor x+k\rfloor =\lfloor x\rfloor +k$ .

Für alle reellen Zahlen gilt

$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1$ .

Für jede ganze Zahl und jede natürliche Zahl gilt

$\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {k-n+1}{n}}$ .

Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt

${\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor {\bigr \rfloor }=\lfloor x\rfloor$ .

Sind und teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

$\sum _{j=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {jm}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}$ .

Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.

Für nichtganze reelle konvergiert die Fourierreihe der -periodischen Funktion $\lfloor x\rfloor -x$ , und es gilt

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin {(2k\pi x)}}{k}}$ .

Sind $m\in \mathbb {Z}$ und $n\in \mathbb {N}$ , so gilt

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor$ .

Daraus folgt direkt, dass, falls $m\neq 0$ ,

$\left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor$ .

Ferner gilt auch

$\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {m-n+1}{n}}\right\rceil$ .

Aufrundungsfunktion

Aufrundungsfunktion

Definition

Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl ist $\lceil x\rceil$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ist.

$\lceil x\rceil :=\min\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq x\}$

Beispiele

$\lceil 2{,}8\rceil =3$

$\lceil 2{,}3\rceil =3$

$\lceil -2{,}8\rceil =-2$

$\lceil 2\rceil =2$

Eigenschaften

Es gilt analog

$\lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil$

Sind $m\in \mathbb {Z}$ und $n\in \mathbb {N}$ , so gilt

$\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil$ .

Daraus folgt direkt, dass, falls $m\neq 0$ ,

$\left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil$ .

Allgemeine Eigenschaften

Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt für positive Zahlen:

$x=\operatorname {floor} (x)+\operatorname {frac} (x)$

Die Funktion $\operatorname {frac} (x)$ liefert dabei den Nachkommaanteil mit $0\leq \operatorname {frac} (x)<1$ .

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

Es ist stets

$\lceil x\rceil +\lfloor -x\rfloor =0$

Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per

$\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$

Kippregeln von Brüning

$\left\lfloor x\right\rfloor <y\Longleftrightarrow x<\left\lceil y\right\rceil$

$\left\lceil x\right\rceil \leq y\Longleftrightarrow x\leq \left\lfloor y\right\rfloor$

Für ganze Zahlen gilt:

$\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {k}{2}}\right\rceil =k$

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

$\lfloor x+0{,}5\rfloor {\mbox{ für }}x\geq 0$

$\lceil x-0{,}5\rceil {\mbox{ für }}x<0$

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür unabhängig vom Vorzeichen des Arguments, die Funktion

$\lfloor |x|+0{,}5\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de