Nicht-fortsetzbare Lösung

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.

Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:

Zunächst zeigt man mit dem Satz von Peano oder dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer (ggf. eindeutigen) lokalen Lösung des Anfangswertproblems.
Daraus folgt mit dem unten angegebenen Satz die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung des Anfangswertproblems. Deren Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.
Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man durch Ausschluss der übrigen Alternativen (beispielsweise mit Vergleichsargumenten) folgern, dass diese nicht-fortsetzbare Lösung global ist.

Im Folgenden sei stets ${\mathbb {K}}\in \{{\mathbb {R}},{\mathbb {C}}\}$ .

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G\subset {\mathbb {R}}\times {\mathbb {K}}^{n}$ und $F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig. Weiter sei $y\in C([a,b);\mathbb {K} ^{n})\cap C^{1}((a,b);\mathbb {K} ^{n})$ eine Lösung von

$\ y'=F(x,y)$

auf (a,b) . Dann gibt es ein $x^{+}\in [b,\infty )$ und eine Lösung obiger Differentialgleichung auf $(a,x^{+})$ mit den Eigenschaften:

$y(x)=u(x)$ auf $[a,b)$ .
Es gibt kein $s^{+}>x^{+}$ , so dass zu einer Lösung auf $(a,s^{+})$ fortgesetzt werden kann.

Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfangswertproblems $y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ (für stetiges ).

Der Satz vom maximalen Existenzintervall

Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.

Formulierung

Sei $D\subset \mathbb {K} ^{n}$ und $F:[a,b)\times D\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig; dabei sei explizit $b = \infty$ zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung

$y'=F(x,y)\ .$

Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung $y:[a,x^{+})\rightarrow D$

$\ x^{+}=b$ (Globalität) oder
$\lim _{x\nearrow x^{+}}\min \left\{{\rm {dist}}(y(x),\partial D),{\frac {1}{\|y(x)\|}}\right\}=0\ .$

Hierin sei ${\rm {dist}}(z,\emptyset ):=\infty$ vereinbart.

Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung

Seien $G\subset {\mathbb {R}}\times {\mathbb {K}}^{n}$ , $F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und $y:(x^{-},x^{+})\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ eine nicht-fortsetzbare Lösung von $\ y'=F(x,y)$ . Dann gilt

$x^{+}=\infty$ (Globalität) oder
$\lim _{x\nearrow x^{+}}\|y(x)\|=\infty$ oder
es gibt eine Folge $x_{j}\nearrow x^{+}$ , so dass der Grenzwert $\lim _{j\rightarrow \infty }y(x_{j})=:y^{\star }$ existiert mit $(x^{+},y^{\star })\in \partial G$ .

Literatur

Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de